VII. í nghĩa khoa học và thực tiễn của luận ỏn
2.4.3. Lời giải giải tớch – phương trỡnh vi phõn xỏc định lan truyề nụ nhiễm
Phương trỡnh lan truyền của chất ụ nhiễm trong đất cú thể được giải quyết thụng qua cỏc lời giải giải tớch hoặc bằng phương phỏp số (sai phõn hữu hạn hoặc phần tử hữu hạn). Phương phỏp giải tớch thường chỉ giải quyết được cỏc bài toỏn cú điều kiện biờn và điều kiện đầu đơn giản và nền đất được coi là đồng nhất, đẳng hướng. Để cú thể đưa ra được lời giải duy nhất cho một phương trỡnh vi phõn thỡ điều kiện đầu và điều kiện biờn cần phải được
chỉ định rừ ràng. Điều kiện đầu mụ tả cỏc giỏ trị khởi điểm của một số biến trong bài toỏn đặt ra, trong trường hợp này là nồng độ chất ụ nhiễm. Điều kiện biờn mụ tả quan hệ hay tương tỏc giữa vựng được nghiờn cứu và khu vực bờn ngoài.
Cú 3 dạng điều kiện biờn cơ bản cho bài toỏn lan truyền của chất ụ nhiễm trong đất: 1) giỏ trị nồng độ khụng đổi; 2) giỏ trị gradient khụng đổi và 3) thay đổi của nồng độ theo thời gian theo một hàm đó định trước. Điều kiện đầu và điều kiện biờn cú thể được mụ tả một cỏch ngắn gọn dưới dạng cỏc biểu thức toỏn học. Với bài toỏn 1 chiều, ta cú thể mụ tả dưới dạng biểu thức sau:
C(x, t) = C(t) (2-40)
Trong đú:
C(t) = một hàm số đó xỏc định Ta cú thể lấy giả thiết như sau:
C(0, t) = C0 t≥ 0 C(x, 0) = 0 x≥ 0 C(ꚙ, t) = 0 t≥ 0
Điều kiện thứ nhất mụ tả rằng nồng độ của chất ụ nhiễm luụn bằng C0 tại vị trớ x = 0 và tại mọi thời điểm. Điều kiện thứ 2 cú nghĩa là tại thời điểm t = 0 thỡ nồng độ C tại mọi vị trớ là bằng 0. Điều kiện thứ 3 cú nghĩa là ở một vị trớ rất xa với nguồn (x = 0) thỡ nồng độ C = 0 tại mọi thời điểm. Trong một số trường hợp, nếu như trong đất, nồng độ chất ụ nhiễm đạt đến một giỏ trị Ci nào đú thỡ ta cú thể viết như sau:
C(x, 0) = Ci x≥ 0
Với điều kiện biờn khi nguồn ụ nhiễm thay đổi theo thời gian theo một hàm mũ như sau: C(0, t) = C0 t-i
Trường hợp thay đổi nồng độ tại nguồn với nồng độ = C0 trong khoảng thời gian từ 0 đến t0 vàsau đú là bằng 0 kể từ thời điểm t0 như sau:
C(0, t) = C0 0 < t ≤ t0
C(0, t) = 0 t > t0
Trong đú, f(t) = một hàm đó được xỏc định trước. Một hàm mụ tả điều kiện biờn của bài toỏn lan truyền hay được sử dụng là = 0 hay núi cỏch khỏc là khụng cú dũng chất ụ nhiễm tại biờn này.
Phương trỡnh tổng quỏt cho sự lan truyền của chất ụ nhiễm trong đất đó được trỡnh bày ở trờn, đõy là một phương trỡnh vi phõn rất phức tạp. Hiện nay, cỏc lời giải giải tớch chỉ cú thể ỏp dụng cho trường hợp nền đồng nhất, đẳng hướng với cỏc điều kiện đầu và biờn đơn giản. Để cú thể giải được cỏc bài toỏn cho sự lan truyền của chất ụ nhiễm trong thực tế, người ta phải sử dụng cỏc phương phỏp số để tớnh toỏn (thường là phương phỏp phần tử hữu hạn).