RÀNG BUỘC TOÀN VẸN, PHỤ THUỘC HÀM VÀ KHÓA
4.3.2.2. Hệ luật dẫn Armstrong
Năm 1974, Armstrong đã đưa ra hệ tiên đề (còn gọi là hệ luật dẫn Armstrong, hay các tính chất của phụ thuộc hàm) (D.Maier - 1983) như sau:
X, Y, Z, W U. Phụ thuộc hàm có các tính chất sau đây: (i) Tính phản xạ: Nếu Y X thì X Y.
(ii) Tính gia tăng: Nếu X Y thì X Z YZ. (iii) Tính bắc cầu: Nếu X Y và Y Z thì X Z.
Và người ta đã chứng minh rằng hệ tiên đề Armstrong là đúng đắn và đầy đủ thông qua 3 bổ đề (ở đây không chứng minh):
Bổ đề 1: Hệ tiên đề Armstrong là đúng, nghĩa là, với F là tập phụ thuộc hàm
đúng trên quan hệ R, nếu X Y là một phụ thuộc hàm.
Bổ đề 2: Từ hệ tiên đề Armstrong suy ra một số luật bổ sung sau đây:
(iv) Tính phân rã (hoặc luật tách):
Nếu X YZ thì X Y và X Z. (v) Tính hợp (hoặc luật hợp):
Nếu X Y và X Z thì X YZ. (vi) Tính tựa bắc cầu, hoặc bắc cầu giả: Nếu X Y và YZ W thì XZ W.
Ví dụ 4.17:
Cho lược đồ quan hệ R(U), U=ABCDEGH và tập các phụ thuộc hàm F = {ABC, BD, CDE, CEGH, GA}. Áp dụng hệ tiên đề Armstrong, tìm một chuỗi suy diễn ABE.
Giải:
1. ABC (cho trước - phụ thuộc hàm f1) 2. ABAB (tính chất phản xạ)
3. ABB (luật tách)
4. BD (cho trước - phụ thuộc hàm f2) 5. ABD (bắc cầu 3 & 4)
6. ABCD (hợp 1 & 5)
7. CDE (cho trước - phụ thuộc hàm f3) 8. ABE (bắc cầu 6 & 7). Kết thúc.
Ví dụ 4.18:
Cho lược đồ quan hệ R(U), U= ABCDEGHIJ và tập các phụ thuộc hàm F = {ABE, AGJ, BEI, EG, GIH }. Tìm chuỗi suy diễn ABGH
Giải:
1. ABE (cho trước - phụ thuộc hàm f1) 2. ABAB (phản xạ)
3. ABB (luật tách) 4. ABBE (hợp của 1 & 3)
5. BEI (cho trước - phụ thuộc hàm f3) 6. ABI (bắc cầu 4 & 5)
7. EG (cho trước - phụ thuộc hàm f4) 8. ABG (bắc cầu 1 & 7)
9. ABGI (hợp 6 & 8)
10. GIH (cho trước - phụ thuộc hàm f5) 11. ABH (bắc cầu 9 & 10)
12. ABGH (hợp 8 & 11)
Bổ đề 3: X Y được suy diễn lôgic từ F nhờ hệ tiên đề Amstrong khi và chỉ
khi Y Xf+.
(Xf+ là bao đóng của tập thuộc tính X đối với tập phụ thuộc hàm F chúng ta sẽ nghiên cứu trong mục sau đây)