Trong suốt tiết này, luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dimR(M) = d.
Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M. Với n = (n1, . . . , nd) là một bộ số nguyên dương, ta đặt
IM x(n) := `R(M/(xn1
1 , . . . , xnd
d )M)−n1. . . nde(x;M),
trong đó e(x;M) là số bội của M ứng với x đã định nghĩa trong Tiết 1.3. Chúng ta xét IM x(n) như là một hàm của các biến nguyên dương
n = (n1, . . . , nd). Năm 1985, R. Y. Sharp và M. Hamich đã hỏi rằng liệu
IM x(n) là đa thức theo các biến n1, . . . , nd với hệ số hữu tỷ khi n1, . . . , nd
đủ lớn. Câu trả lời là không đúng, các phản ví dụ đã được xây dựng bởi J. L. Garcia Roig và D. Kirby trong một công trình đăng trên tạp chí Mathematika năm 1986. Năm 1990, N. T. Cường đã đưa ra một điều kiện cần và đủ để hàm này là đa thức.
Mặc dù hàm IM x(n) nhìn chung không là đa thức khi n1, . . . , nd đủ lớn nhưng nó là một hàm không âm và bị chặn trên bởi các đa thức. Điều này được thể hiện thông qua bổ đề sau (xem [7]).
(n1, . . . , nd) là một bộ d số nguyên dương. Đặt
I(x;M) := `R(M, x1, . . . , xd)M −e(x;M).
Khi đó ta có
0≤ IM x(n) ≤n1. . . ndI(x;M).
Định lý sau đây thuộc về N. T. Cuong [3].
Định lý 1.4.2. Bậc nhỏ nhất của các đa thức (theo các biến n1, . . . , nd) chặn trên hàm IM x(n) là một bất biến của M, độc lập với việc chọn hệ tham số của M.
Định lý trên dẫn đến khái niệm kiểu đa thức như sau (xem [3]).
Định nghĩa 1.4.3. Kiểu đa thức của M, kí hiệu là p(M), là bậc nhỏ nhất của các đa thức chặn trên hàm IM x(n) với x là một hệ tham số của M.
Năm 1965, D. A. Buchsbaum đã giả thiết rằng mọi R-môđun hữu hạn sinh M đều có tính chất: IM x(n) là một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Tuy nhiên câu trả lời cho giả thuyết này là phủ định. Cụ thể, trong một bài báo viết chung năm 1973, W. Vogel và J. Stuckrad đã xây dựng nhiều ví dụ chứng tỏ rằng giả thuyết của Buchsbaum là không đúng. Từ đó Vogel và Stuckrad đã nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của Buchsbaum và họ gọi đó là môđun Buchsbaum:
M được gọi là môđun Buchsbaum nếu I(x;M) là một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Câu hỏi tiếp theo đặt ra là với một R- môđun hữu hạn sinh cho trước tùy ý, có tồn tại hay không một hằng số c
sao cho I(x;M) ≤ c với mọi hệ tham số x của M. Câu trả lời cho câu hỏi này vẫn là phủ định. Vì thế, năm 1978, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng: M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu tồn tại một hằng số c sao cho
I(x;M) ≤ c với mọi hệ tham số x của M. Khi M là Cohen-Macaulay suy rộng, số nguyên c bé nhất chặn trên tất cả các số I(x;M) được ký hiệu là
I(M). Từ nay ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1. Định lý 1.3.15 và định nghĩa môđun Cohen-Macaulay suy rộng dẫn đến nhận xét sau.
(ii) M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M) ≤ 0.
Phần tiếp theo chúng ta tính kiểu đa thức trong trường hợp tổng quát, thông qua chiều của môđun đối đồng điều địa phương Artin. Vì môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M) là R-môđun Artin (xem Định lý 1.2.8), nên
Hmi(M) có cấu trúc tự nhiên là Rb-môđun Artin. Định lý dưới đây cho ta công thức tính kiểu đa thức của M thông qua chiều của Hmi(M) trên vành
b
R (xem [3]).
Định lý 1.4.5. Với M 6= 0 có chiều d, ta luôn có
p(M) = max
i<d dim(R/b Ann
b
RHmi(M)).
Chú ý rằng nếu x là hệ tham số của M, thì nó là hệ tham số của
c
M và `R(M/xM) = `
b
R(M /xc Mc) và e(x;M) = e(x;Mc). Vì thế kiểu đa thức được bảo toàn khi chuyển qua đầy đủ m-adic. Hơn nữa ta luôn có dim R/b Ann
b
RHmi(M) ≤ i với mọi i ≥ 0, xem Bổ đề 1.2.10. Vì thế ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.4.6. p(M) =p(Mc). Hơn nữa, p(M) ≤ d−1.
Theo Định lý 1.4.5, để tính p(M), ta cần tính chiều của Hmi(M). Vì
Hmi(M) là Artin, nên chiều của nó được định nghĩa qua chiều của các iđêan nguyên tố gắn kết được định nghĩa như sau: Cho A là một R-môđun Artin và p là một iđêan nguyên tố của R. Ta nói A là p-thứ cấp nếu A 6= 0 và phép nhân bởi x trên A là một toàn cấu (tức là xA= A) với mọi x ∈ R\p
và là lũy linh (tức là tồn tại n ∈ N sao cho xnA = 0) với mọi x ∈ p. Theo I. G. Macdonald [6], mọi R-môđun Artin A đều có một biểu diễn thứ cấp
A = A1 +. . .+ An, trong đó mỗi Ai là pi-thứ cấp. Biểu diễn thứ cấp này gọi là tối thiểu nếu các pi đôi một khác nhau và mỗi Ai là không thừa (tức là A 6= A1 +. . .+Ai−1 + Ai+1 + . . .+An.) Chú ý rằng mỗi biểu diễn thứ cấp A = A1 + . . .+ An của A đều có thể quy về tối thiểu bằng cách loại đi các thành phần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố. Tập {p1, . . . ,pn} không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Tập này được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A và được ký hiệu là AttR(A). Dưới đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố gắn kết (xem [6], [1]).
(i) min AttR(A) = min Var(AnnR(A)). Đặc biệt ta có
dim(R/AnnR(A)) = max{dim(R/p) | p ∈ AttR(A)}.
(ii) A 6= 0 nếu và chỉ nếu AttR(A) 6= ∅.
(iii) Nếu x ∈ m sao cho x /∈ AttR(A)\{m} thì `R(A/xA) < ∞.
(iv) AttR(A) ={P∩R | P ∈ Att
b
R(A)}.
(iii) Nếu 0→ A0 →A →A” →0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì
AttR(A00) ⊆ AttR(A) ⊆AttR(A0)∪AttR(A00).
Bổ đề sau cho ta một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun dối đồng điều địa phương (xem [1]).
Bổ đề 1.4.8. Các phát biểu sau là đúng
(i) dim(R/p) ≤ i với mọi i ∈ N và mọi p ∈ AttRHmi(M).
(ii) AttRHmd(M) ={p ∈ AssR(M) | dim(R/p) = d}.
Từ Bổ đề 1.4.7(i) và Bổ đề 1.4.8(ii), ta suy ra công thức chiều của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất như sau
dim(R/AnnRHmd(M)) = dim(R/b Ann
b
RHmd(M)) = d.
Bây giờ chúng ta sử dụng Định lý 1.4.5 để tính kiểu đa thức trong ví dụ sau.
Ví dụ 1.4.9. Cho d ≥ 4 là một số nguyên dương và k là trường. Cho
R := k[[x1, . . . , xd]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên trường
k. Đặt M := (x1, x2)R và N := R/(x1, x2)∩(x3, x4). Khi đó p(M) = d−2
Chứng minh. Vì Rlà vành Cohen-Macaulay chiềudvàx1, x2 là R-dãy chính quy nên R/M là Cohen-Macaulay chiều d − 2. Do M 6= 0 và R là miền nguyên nên AssR(M) = Ass(R) ={0}. Vì thếdimRM = d. Theo Mệnh đề 1.2.4, từ dãy khớp 0 →M →R → R/M → 0 ta có dãy khớp 0→ Hm0(M) →Hm0(R) → Hm0(R/M) → → . . . → Hmd−2(M) → Hmd−2(R) → Hmd−2(R/M) → → Hmd−1(M) → Hmd−1(R) → Hmd−1(R/M) → → Hmd(M) →Hmd(R) → Hmd(R/M) →0
Vì Hmi(R) = 0 với mọi i 6= d và Hmi(R/M) = 0 với mọi i 6= d −2 nên từ dãy khớp dài trên ta suy ra Hmi(M) = 0 với mọi i ≤ d−2 và Hmd−1(M) ∼=
Hmd−2(R/M). Do đó p(M) = dim R/AnnR(Hmd−2(R/M)) = d −2 theo Bổ đề 1.4.8.
Để tính p(N) ta xét dãy khớp
0→ N →R/(x1, x2)⊕R/(x3, x4) →R/(x1, x2, x3, x4) → 0.
Áp dụng Mệnh đề 1.2.4, ta được dãy khớp dài với i ≥ 0
. . . →Hmi (N) → Hmi R/(x1, x2)⊕R/(x3, x4) →Hmi (R/(x1, x2, x3, x4)) →
Chú ý rằng dimR(N) = d− 2, các vành R/(x1, x2), R/(x3, x4) là Cohen- Macaulay chiềud−2,R/(x1, x2, x3, x4)là vành Cohen-Macaulay chiềud−4. Hơn nữa, với mỗi i ta có đẳng cấu
Hmi R/(x1, x2)⊕R/(x3, x4)∼= Hi
m R/(x1, x2)⊕Hmi R/(x3, x4).
Vì thế Hmi R/(x1, x2)⊕R/(x3, x4) = 0 với mọi i 6= d−2. Từ đây ta tính được Hmi(N) = 0 với mọi i 6= d−4và Hmd−4(N) ∼= Hd−4
m (R/(x1, x2, x3, x4)).
Theo Hệ quả 1.3.7, nếu x ∈ m thì dimR(M/xM) ≥ d − 1. Nếu xảy ra dimR(M/xM) = d− 1 thì ta nói x là phần tử tham số của M. Trong phần tiếp theo chúng ta xét kiểu đa thức khi chia cho một phần tử tham số. Cho x ∈ m là phần tử M-chính quy. Khi đó x là phần tử tham số của M
và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen-Macaulay (xem Tiết 1.3). Như vậy p(M) = −1 nếu và chỉ nếu p(M/xM) = −1. Khi M
không là Cohen-Macaulay, thì theo Mệnh đề 1.3.9 ta suy ra M là Cohen- Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen-Macaulay suy rộng (tức là p(M) = 0 nếu và chỉ nếu p(M/xM) = 0). Trong trường hợp p(M) > 0 và x là một phần tử tham số có tính chất đặc biệt thì kiểu đa thức của
M/xM giảm đi 1.
Định lý 1.4.10. Cho p(M) > 0 và x ∈ m là phần tử tham số của M sao
cho x /∈ p với mọi p ∈ (Sd
i=1AttRHmi(M))\{m}. Khi đó
p(M/xM) = p(M)−1.
Chứng minh. Theo [BS, 11.3.9], ta có AssR(M) ⊆ ∪d
i=1AttRHmi (M). Vì thế, theo cách chọn x ở trên ta suy ra x /∈ p với mọi p ∈ AssR(M)\{m}.
Do đó `R(0 :M x) < 0. Xét các dãy khớp
0→ (0 :M x) → M → M/(0 :M x) → 0,
0 →M/(0 :M x) →x M →M/xM →0,
trong đó đồng cấu M/(0 :M x) →x M ở dãy khớp thứ hai cho ứng phần tử
m + (0 :M x) ∈ M/(0 :M x) với phần tử xm ∈ M. Vì `R(0 :M x) < ∞
nên dimR(0 :M x) ≤ 0. Theo Định lý 1.2.7(iv) ta có Hmi(0 :M x) = 0 với mọi i >0. Do đó bằng cách lấy dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương cảm sinh từ dãy khớp thứ nhất, ta suy ra Hmi(M) ∼= Hi
m(0 :M x) với mọi i >0.Thay các đẳng cấu này vào dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương cảm sinh từ dãy khớp thứ hai, ta có các dãy khớp sau với mọi i >0
0 →Hmi (M)/xHmi (M) →Hmi(M) → (0 :Hi+1
Chú ý rằng Rad(Ann b R(0 :Hi+1 m (M) x)) = Rad(xRb + Ann b RHmi+1(M)). Hơn nữa, nếu dim(R/b Ann
b
RHmi+1(M) > 0), thì theo cách chọn x và theo Bổ đề 1.4.7(i), ta suy ra x là phần tử tham số của R/b (Ann
b RHmi+1(M)). Do đó dim(R/b Ann b R(0 :Hi+1 m (M) x)) = dim(R/b Ann(RHb mi+1(M))−1.
Cũng theo cách chọn x ta có `R(Hmi(M)/xHmi(M)) < ∞ với mọi i (xem Bổ đề 1.4.7(iii)). Vì thế từ dãy khớp thứ ba và Định lý 1.4.5 ta suy ra
p(M/xM) = p(M)−1.
Định lý 1.4.10 cho thấy khi chia cho một phần tử tham số đặc biệt thì kiểu đa thức giảm đi đúng 1 đơn vị. Tuy nhiên, thậm chí khi x là một phần tử M-chính quy mà không thỏa mãn điều kiện như trong giả thiết của Định lý 1.4.10, thì kiểu đa thức p(M/xM) có thể không giảm. Dưới đây là một ví dụ.
Ví dụ 1.4.11. Cho k là một trường và R = k[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 4 biến trên k. Cho M = (x, y, z)R. Khi đó x là phần tử
M-chính quy và p(M) =p(M/xM) = 1.
Chứng minh. Chú ý rằng R là vành Noether địa phương chiều 4 với iđêan tối đại duy nhất m = (x, y, z, t)R. Vì 0 6= M ⊆ R và Ass(R) = {0}, nên AssR(M) = {0}. Do đó dimR(M) = 4. Chú ý rằng R là Cohen-Macaulay chiều 4 và R/(x, y, z)R là Cohen-Macaulay chiều 1. Xét dãy khớp
0 →M →R → R/(x, y, z)R →0.
Từ dãy khớp cảm sinh các môđun đối đồng điều địa phương và Định lý 1.3.10 ta suy ra Hmi(M) = 0 với mọi i 6= 2, i 6= 4 và Hm2(M) ∼= H1
m(R/(x, y, z)R).
Vì dim(R/AnnRHm1(R/(x, y, z)R)) = 1, nên theo Định lý 1.4.5 ta có
Chú ý rằng x là M-chính quy. Xét dãy khớp
0→ M →x M → M/xM → 0.
Dãy khớp này cảm sinh dãy khớp
0 →Hmi (M)/xHmi(M) → Hmi(M/xM) → (0 :Hi+1
m (M) x) →0
với mọi i ≥ 0. Theo trên ta có đẳng cấu Hm2(M) ∼= H1
m(R/(x, y, z)R). Vì thế (0 :H2
m(M) x) = Hm2(M). Chú ý rằng Hmi(M) = 0 với mọi i 6= 2, i 6= 4.
Do đó, từ dãy khớp cuối cùng ta suy ra Hmi(M/xM) = 0 với i 6= 1 và
i 6= 3 và dim(R/AnnRHm1(M/xM)) = 1. Theo Định lý 1.4.5 ta suy ra
p(M/xM) = 1.
Quỹ tích không Cohen-Macaulay củaM, kí hiệu là nCM(M), được định nghĩa như sau
nCM(M) = {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay}.
Chú ý rằng nhìn chung nCM(M) không là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski, tức là không tồn tại iđêanJ củaRsao chonCM(M) = Var(J).
Tuy nhiên, khi R là vành thương của vành Cohen-Macaulay thì nCM(M) là tập con đóng của Spec(R), xem [3]. Trong trường hợp này, ta định nghĩa
chiều của nCM(M), kí hiệu là dimR(nCM(M)), là số lớn nhất trong các độ dài của các dãy nguyên tố chứa trong nCM(M). Khi M đẳng chiều, tức là dim(R/p) = d với mọi p ∈ min AssR(M), thì kiểu đa thức p(M) có thể được xem là khoảng cách từ môđun M đến lớp môđun Cohen-Macaulay. Điều đó được thể hiện qua Định lý sau (xem [3], [9]).
Định lý 1.4.12. Cho D1 là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn
hoặc bằng d. Khi đóp(M) ≥ max{dimR nCM(M),dimR(D1)}. Dấu bằng xảy ra khi R là thương của vành Cohen-Macaulay. Nếu bổ sung thêm điều kiện M là đẳng chiều thì p(M) = dimR nCM(M).
Hệ quả 1.4.13. Nếu p(M) ≤ r và N là một môđun con của M thì
dimRN = d hoặc dimRN ≤r.
Chứng minh. Cho N là một môđun con của M và giả sử dimRN < d. Gọi
D1 là môđun con lớn nhất của M sao cho dimRD1 < d. Khi đó N ⊆ D1.
Từ Định lý 1.4.12 ta suy ra
Chương 2
Kiểu đa thức dãy của môđun
Trong suốt chương này, luôn giả thiết(R,m)là vành Noether địa phương,
M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Ký hiệu Rb và Mc lần lượt là đầy đủ
m-adic của M.
Môđun Cohen-Macaulay dãy là một khái niệm mở rộng của môđun Cohen-Macalay được giới thiệu bởi R. Stanley [11] cho trường hợp vành phân bậc. Sau đó, P. Schenzel [10] và N. T. Cuong, L. T. Nhan [4] nghiên cứu trong trường hợp vành địa phương. Mục tiêu của chương này là trình bày khái niệm kiểu đa thức dãy của môđun M, được định nghĩa thông qua kiểu đa thức của các môđun thương trong lọc chiều của M, nhằm đo tính không Cohen-Macaulay dãy của M. Sự thay đổi của kiểu đa thức dãy qua địa phương hóa và đầy đủ hóa được tìm hiểu ở cuối chương. Nội dung chính của chương này dựa trên bài báo [8].