Mục tiêu của tiết này là tìm hiểu kiểu đa thức dãy của môđun M thông qua địa phương hóa và đầy đủ hóa m-adic.
Định lý 2.4.1. Cho p ∈ SuppR(M). Giả sử R là catenary.
(i) Nếu dim(R/p) > sp(M) thì Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Nếu dim(R/p) ≤sp(M) thì sp(Mp) ≤ sp(M)−dim(R/p).
Chứng minh. (i). Vì dim(R/p) > sp(M) nên theo Mệnh đề 2.3.2 ta có
p ∈/ nSCM(M). Suy ra Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Giả sử dim(R/p) ≤ sp(M). Khi đó tồn tại chỉ số i ≤ t sao cho dim(R/p) ≤ p(Di−1/Di). Do R là catenary nên theo [10, Mệnh đề 2.4] ta suy ra hoặc (Di)p = (Di−1)p hoặc (Di)p là môđun con lớn nhất của (Di−1)p có chiều nhỏ hơn dimRp(Di−1)p. Vì thế, từ họ {(Di)p}i≤t, bằng cách bỏ đi những thành phần lặp lại, ta được một họ con tạo thành lọc chiều của Mp
như sau
Hp0Rp(Mp) = (Djn)p ⊂ . . .⊂ (Dj1)p ⊂(Dj0)p = Mp.
Cho i ∈ {1, . . . , t}. Nếu dim(R/p) > p(Di−1/Di) thì theo Định lý 1.4.12 ta có p ∈/ nCM(Di−1/Di). Vì thế (Di−1/Di)p là Rp-môđun Cohen Macaulay, nghĩa là p(Di−1/Di)p = −1. Do đó sp(Mp) là số xác định như sau
max1≤i≤t{p(Di−1/Di)p |,p ∈ SuppR(Di−1/Di),dim(R/p) ≤ p(Di−1/Di)}.
Giả sử p ∈ SuppR(Di−1/Di) sao chodim(R/p) ≤p(Di−1/Di). Ta đặtLi =
Di−1/Di vàdimRp(Di−1)p = di−1(p).Khi đódimRp(Li)p = di−1(p).LấyP ∈
Ass(R/b pRb) sao cho dim(R/b P) = dim(R/p). Khi đó dim(RbP/pRbP) = 0.
Do đó
dimRp(Li)p = dim(RbP/pRbP) + dimRp(Li)p = dim
b
RP((Li)p ⊗RbP) = dim
b
Giả sử x1, . . . , xdi−1(p) ∈ pRp là một hệ tham số của (Li)p. Khi đó hệ này cũng là một hệ tham số của (Lbi)P. Cho các số nguyên dương n1, . . . , ndi−1(p).
Ký hiệuJ là iđêan củaRpsinh bởixn1
1 , . . . , xndi−1(p)
di−1(p).Với mỗi số nguyên dương
n, do ánh xạ Rp → RbP là đồng cấu phẳng địa phương, nên theo [2, 1.2.25] ta có ` b RP (Lbi)P/Jn(Lbi)P= ` b RP(((Li)p/Jn(Li)p)⊗RbP) = `Rp((Li)p/Jn(Li)p).`(RbP/pRbP). Suy ra e xn1 1 , . . . , xndi−1(p) di−1(p); (Lbi)P = e(xn1 1 , . . . , xndi−1(p) di−1(p); (Li)p).` RbP/pRbP. Hơn nữa, ta có ` b RP (Lbi)P/(xn1 1 , . . . , xnddi−1(p) i−1(p)(Lbi)P = `Rp (Li)p/(xn1 1 , . . . , xndi−1(p) di−1(p); (Li)p.`(RbP/pRbP). Chú ý rằng` b
RP(RbP/pRbP)là hằng số không phụ thuộc các biếnx1, . . . , xdi−1(p).
Vì thế theo [3, Định lý 2.3] ta có p((Lbi)P) = p (Li)p. Theo Định lý 1.4.5 ta suy ra p( (Lbi)P) = max j<di−1(p)dim(RbP/Ann b RP(Hj PRbP (Lbi)P. Theo [1, 11.3.8] ta có Att b RP Hj PRbP ((Lbi)P) ⊆ {QRbP | Q ∈ Att b RHj+dim(R/b P) mRb (Lbi),Q ⊆ P}. Chú ý rằng Hmj+dim(R/p)(Li) ∼= Hj+dim(R/p) m (Li)⊗Rb ∼= Hj+dim(R/b P) mRb (Lbi). Suy ra dim(RbP/Ann b RP(Hj PRbP ((Lbi)P)))≤ dim(R/b Ann b R(Hmj+dim(R/p)(Li)))−dim(R/p)
với mọi j < di−1(p). Vì thế
p (Li)p= p((Lbi)P) ≤ p(Li)−dim(R/p) ≤sp(M)−dim(R/p).
Phần cuối của tiết này dành để nghiên cứu chuyển kiểu đa thức dãy qua đầy đủ m-adic. Chú ý rằng, theo Mệnh đề 1.4.6 ta có p(M) = p(Mc) nhưng một mối liên hệ tương tự giữa sp(M) và sp(Mc) nhìn chung không đúng. Chẳng hạn, cho (R,m) là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 xây dựng bởi Ferrand và Raynaud [5] sao cho Rb có iđêan nguyên tố nhúng
P chiều 1. Khi đó sp(R) = 1. Hơn nữa, Rb là môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [10, Ví dụ 6.1]). Do đó sp(Rb) =−1.
Định lý 2.4.2. sp(Mc) ≤ sp(M). Dấu bằng xảy ra nếu R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ AssR(M).
Chứng minh. Đặt sp(M) = r. Cho t(r), D(r) được xác định như trong Ký hiệu 2.3.3. GọiH là môđun con lớn nhất củaMccó chiều nhỏ hơn hoặc bằng
r. Ta sẽ áp dụng Mệnh đề 2.3.4 cho lọc
H = Dbt(r)+H ⊂ . . . ⊂Db1 +H ⊂ Db0 = Mc
để khẳng định rằng sp(Mc) ≤ r. Thật vậy, với mỗi i ∈ {1, . . . , t(r)}, vì dim b RDbi = di, ta có dim b R(Dbi+H) = max{di,dim b RH} ≤ max{di, r}< di−1 = dim b R(Dbi+H). Vì dim b R(Dbi−1/Dbi) =di−1 và sp(M) =r nên theo Mệnh đề 1.4.6 ta có p(Dbi−1/Dbi) =p(Di−1/Di) ≤r.
Suy ra dim(R/b Ann
b
R( Hj
mRb(Dbi−1/Dbi))) ≤ r với mọi j < di−1. Từ các dãy khớp
0 →(Dbi+ H)/Dbi →(Dbi−1 +H/Dbi) → (Dbi−1 +H)/(Dbi+ H) →0 với chú ý rằng dim b R (Dbi−1 + H)/Dbi−1 ≤ dim b RH ≤ r và dim b R (Dbi + H)/Dbi ≤ dim b RH ≤r, ta suy ra Hj mRb(Dbi−1/Dbi) ∼= Hj mRb Dbi−1 +H/Dbi
với mọij ≥ r+2.Hơn nữa,Hr+1
mRb Dbi−1+H/Dbilà thương củaHr+1
mRb(Dbi−1/Dbi),
vàHj
mRb Dbi−1+H/Dbi ∼= Hj
mRb (Dbi−1+H)/(Dbi+H)với mọi j ≥ r+1.Áp dụng Bổ đề 1.2.10 suy ra dim(R/b Ann
b
R Hj
mRb((Dbi−1+H)/(Dbi+H)))) ≤ r
với mọi j ≤ r. Vì thế
p (Dbi−1 +H)/(Dbi +H)≤ r
với mọi i = 1, . . . , r. Vì thế sp(Mc) ≤ r theo Mệnh đề 2.3.4. Giả sử R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ AssR(M). Cho
H0
mRb(Mc) = Un ⊂ . . .⊂ U1 ⊂U0 = Mc
là lọc chiều của M .c Ta chứng minh quy nạp theo t rằng t = n và Ui = Dbi
với mọi i ≤ t. Trường hợp t = 0 là hiển nhiên với chú ý rằng H0
mRb(Mc) ∼=
Hm0(M)⊗R.b Cho t > 0 và giả sử kết quả đã đúng cho t−1. Khi đó d > 0 và do đó n > 0. Chú ý rằng Db1 ⊆ U1. Giả sử ngược lại Db1 6= U1. Khi đó tồn tại P ∈ Ass
b
R(U1/Db1). Suy ra P ∈ Ass
b
R(M /c Db1) và dim(R/b P) < d. Chú ý rằng AssR(M/D1) = AssR(M)d. Theo [7, Định lý 23.2(ii)]
Ass b R(M /c Db1) = [ p∈AssR(M/D1) Ass(R/b pRb) = [ p∈(AssR(M))d Ass(R/b pRb).
Vì thế P ∈ Ass(R/b pRb) với p nào đó thuộc (AssR(M))d. Do R/p không trộn lẫn nên dim(R/b P) = d. Điều này là mâu thuẫn, vì thế Db1 = U1. Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun Db1 ta được t−1 = n−1 và Dbi = Ui
với mọi i = 2, . . . , t. Do đó khẳng định được chứng minh. Từ khẳng định và Mệnh đề 1.4.6 ta được sp(Mc) = max i≤t p(Ui−1/Ui) = max i≤t p(Dbi−1/Dbi) = max i≤t p(Di−1/Di) = sp(M).
Kết luận
Luận văn trình bày một số kết quả về kiểu đa thức và kiểu đa thức dãy trong các bài báo [3], [8]. Nội dung chính đạt được là:
1. Nhắc lại các kiến thức cần thiết về chiều, độ sâu của môđun, môđun đối đồng điều địa phương, vành và môđun Cohen-Macaulay, tính không trộn lẫn của môđun Cohen-Macaulay, các đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay.
2. Trình bày khái niệm kiểu đa thức của môđun, công thức tính kiểu đa thức qua chiều của môđun đối đồng điều địa phương; kiểu đa thức qua đầy đủ m-adic, so sánh kiểu đa thức với chiều của quỹ tích không Cohen- Macaulay.
3. Tìm hiểu lọc chiều của môđun, khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy, các tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy khi chuyển qua địa phương hóa, đầy đủ hóa, và chia cho phần tử chính quy.
4. Nghiên cứu khái niệm kiểu đa thức dãy, các tính chất của kiểu đa thức dãy dưới tác động của địa phương hóa và đầy đủ m-adic, so sánh kiểu đa thức dãy với chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Brodmann and R. Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic in- troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[2] W. Bruns and J. Herzog, “Cohen-Macaulay rings", Cambridge Univer- sity Press, 1993.
[3] N. T. Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of pa- rameters in local rings, Nagoya Math. J., 125 (1992), 105-114.
[4] N. T. Cuong, L. T. Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo gener- alized Cohen-Macaulay modules, J. Algebra, 267 (2003), 156-177. [5] D. Ferrand and M. Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noethe-
rian, Ann. Sci. E’cole Norm. Sup., (4)3 (1970), 295-311.
[6] I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a commu- tative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43.
[7] H. Matsumura, “Commutative ring theory", Cambridge University Press, 1986.
[8] L. T. Nhan, T. D. Dung, T. D. M. Chau, A measure for non sequen- tially Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J. Algebra,
468 (2016), 275-295.
[9] L. T. Nhan, N. T. K. Nga and P. H. Khanh, Non-Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm. Algebra,42(2014), 4412-4425.
[10] P. Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc. of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, (1998), 245-264.
[11] R. P. Stanley, “Combinatorics and Commutative Algebra", Second edi- tion, Birkh¨auser Boston-Basel-Berlin.