Khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu bởi R. Stanley [11, Trang 87] cho môđun phân bậc. Sau đó, P. Schenzel [10] và N. T. Cuong, L. T. Nhan [4] nghiên cứu cho trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành
địa phương. Sau đây chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy theo P. Schenzel [10]. Cho Hm0(M) = Dt ⊂ . . . ⊂ D0 = M là lọc chiều của M, và đặt di := dimDi với mỗi i ≤ t.
Định nghĩa 2.2.1. Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu môđun
thương Di−1/Di là Cohen-Macaulay với mọi i = 1, . . . , t.
Ví dụ 2.2.2. (i) Nếu M là R-môđun Cohen-Macaulay thì M là môđun
Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều là 0 ⊂M.
(ii) Nếu dimR(M) = 1 thì M là môđun Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều của M là Hm0(M) ⊂ M. Chú ý rằng M/Hm0(M) là môđun Cohen- Macaulay chiều 1.
(iii) Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến trên trường k. Khi đó M = R/((x2, z) ∩ (y, z)) là R-môđun Cohen- Macaulay dãy với lọc chiều Hm0(M) ⊂ M.
Bổ đề 2.2.3. Cho Hm0(M) = Ct ⊂ . . . ⊂ C0 = M là một lọc các môđun con của M sao cho dimR(Ci) < dimR(Ci−1) và môđun thương Ci−1/Ci là Cohen-Macaulay với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó Hm0(M) = Ct ⊂ . . . ⊂ C0 =
M là lọc chiều của M.
Chứng minh. Gọi D1 là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Do dimR(C1) < d nên C1 ⊆ D1. Giả sử C1 =6 D1. Suy ra AssR(D1/C1) 6= ∅. Vì thế tồn tại p ∈ AssR(D1/C1) và dim(R/p) < d. Do D1/C1 là môđun con của M/C1 nên AssR(D1/C1) ⊆ AssR(M/C1). Kéo theo p ∈ AssR(M/C1).
Chú ý rằng M/C1 là môđun Cohen-Macaulay và dimR(C1) < d nên
Suy ra dim(R/p) = d, mâu thuẫn. Vì thế C1 là môđun con lớn nhất của
M có chiều nhỏ hơn d. Lập luận tương tự ta chứng minh được mỗi Ci, với 1 ≤i ≤ t, là môđun con lớn nhất củaM có chiều nhỏ hơn dimR(Ci−1). Vậy
Hm0(M) = Ct ⊂ . . .⊂ C0 = M là lọc chiều của M.
Định lý 2.2.4. Giả sửM làR-môđun hữu hạn sinh vàx ∈ mlà phần tử M-
chính quy. Nếu M là Cohen-Macaulay dãy thì M/xM là Cohen-Macaulay dãy.
Chứng minh. Giả sử Hm0(M) = Dt ⊂ . . . ⊂ D0 = M là lọc chiều của
M. Vì x là M-chính quy và `(Hm0(M)) < ∞ nên Hm0(M) = 0. Do đó
Dt = 0. Do x tránh mọi iđêan nguyên tố liên kết của M nên x tránh mọi iđêan nguyên tố liên kết của Di−1/Di và M/Di. Vì thế x cũng là phần tử chính quy của Di−1/Di và M/Di với mỗi i = 1, . . . , t. Hơn nữa
Di∩xM = xDi với mỗi i = 1, . . . , t.Thật vậy, hiển nhiên Di∩xM ⊇ xDi.
Lấy m ∈ Di ∩xM. Suy ra m = xm0 với m0 ∈ M. Giả sử m0 ∈/ Di. Suy ra
s := dim(Rm0) > di = dimDi. Vì xm0 ∈ Di nên dimx(Rm0) ≤ di < s.
Vì thế từ dãy khớp 0 → x(Rm0) → Rm0 → Rm0/x(Rm0) → 0 ta suy ra dimRm0/x(Rm0) = s. Chú ý rằng AssR(Rm0) ⊆ AssR(M). Vì thế x
là Rm0-chính quy. Do đó dimRm0/x(Rm0) = s − 1, mâu thuẫn. Vì thế
m0 ∈ Di và do đó Di ∩xM = xDi.
Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay dãy. Đặt Di := Di−1/Di. Cho
i ≥ 1. Khi đó
Di/xDi ∼= (D
i−1 +xM)/xM/ (Di +xM)/xM.
Vì x là Di-chính quy nên Di/xDi là môđun Cohen-Macaulay chiều di−1. Vì thế M/xM là môđun Cohen-Macaulay dãy theo Bổ đề 2.2.3.
Phát biểu đảo của Định lý 2.2.4 không đúng. Chẳng hạn, lấy R =
k[[x, y]]là vành các chuỗi lũy thừa hình thức vớik là trường vàM = (x, y)R.
Khi đó AssR(M) = {0}, do đó 0 ⊂ M là lọc chiều của M. Vì Hm1(M) ∼=
Hm0(R/M) 6= 0 nên M không Cohen-Macaulay. Do đó M không là Cohen- Macaulay dãy. Với phần tử x là M-chính quy ta có dimR(M/xM) = 1, nên
M/xM là Cohen-Macaulay dãy.
Mệnh đề 2.2.5. Cho M là R-môđun Cohen-Macaulay dãy. Khi đó Mp là
Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy với mọi p ∈ SuppR(M).
Chứng minh. Giả sửM làR-môđun Cohen-Macaulay dãy vàp ∈ SuppR(M).
Giả sử Hm0(M) = Dt ⊂ . . . ⊂ D0 = M là lọc chiều của M. Với mỗi i ≥ 0,
ta đặt Di0 := Di⊗R Rp. Khi đó
Di0−1/Di0 ∼= (D
i−1/Di)⊗R Rp.
Do M là R-môđun Cohen-Macaulay dãy nên Di−1/Di là Cohen-Macaulay với mỗi i = 1, . . . , t. Suy ra Di0−1/Di0 hoặc bằng 0 hoặc là Cohen-Macaulay và khác 0 với mỗi i = 1, . . . , t. Bỏ đi các mắt i sao cho Di0−1/D0i = 0, khi đó phần còn lại của lọc {D0i} có các thương là Rp-môđun Cohen-Macaulay. Theo Bổ đề 2.2.3, ta có Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy.
Định lý 2.2.6. Nếu M là R-môđun Cohen-Macaulay dãy thì Mc cũng là
b
R-môđun Cohen-Macaulay dãy.
Chứng minh. Cho M là R-môđun Cohen-Macaulay dãy và Hm0(M) = Dt ⊂
. . . ⊂ D0 = M là lọc chiều của M. Vì Di−1/Di là Cohen-Macaulay nên
[
Di−1/Dci cũng là Cohen-Macaulay. Do đó Mc là Rb-môđun Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều
H0
Chiều ngược lại của Định lý 2.2.6 không đúng. Miền nguyên R chiều 2 xây dựng bởi Ferrand-Raynaud không là Cohen-Macaulay dãy nhưng Rb là Cohen-Macaulay dãy (xem [10]).