Khái niệm lọc chiều của một môđun được giới thiệu đầu tiên bởi P. Schenzel [10]. Sau đó N. T. Cuong và L. T. Nhan [4] đã hiệu chỉnh khái niệm này bằng cách bỏ đi những thành phần lặp lại. Trong tiết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm lọc chiều theo [4]. Trước hết ta có định lý sau.
Định lý 2.1.1. Cho (R,m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun
hữu hạn sinh khác không chiều d. Khi đó tập
X
có phần tử lớn nhất theo quan hệ bao hàm kí hiệu là UM(0). Khi đó
(i) dimR(M/UM(0)) = d.
(ii) M/UM(0) không có môđun con khác không nào có chiều nhỏ hơn d.
(iii) AssR(M/UM(0)) = {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) = d}.
Chứng minh. Vì M là R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether nên M là môđun Noether. Rõ ràng P
6
= ∅vì 0 ∈ P
do ta quy ước chiều của môđun0 bằng -1. Suy ra tậpP có phần tử cực đại, kí hiệu là UM(0).Giả sử N ∈ P
.
Khi đó N là R-môđun con của M và dimR(N) < d. Từ dãy khớp
0 →N → (N +UM(0)) → (N +UM(0))/N →0 ta suy ra
dimR(N +UM(0)) = max{dimR(N),dimR (N +UM(0))/N}.
Chú ý rằng (N +UM(0))/N ∼= U M(0)/(UM(0)∩N). Điều này dẫn đến dimR (N +UM(0))/N = dimR UM(0)/(UM(0)∩N) ≤dimR UM(0) < d. Vì thế dimR N+UM(0) < d, nghĩa là N+UM(0) ∈ P . Do N+UM(0) ⊇
UM(0) nên N +UM(0) =UM(0) theo tính chất cực đại của UM(0). Vì thế
N ⊆ UM(0). Vậy UM(0) là phần tử lớn nhất của P.
(i) Xét dãy khớp0 →UM(0) → M → M/UM(0) →0.Ta cóSuppR(M) = SuppR(UM(0))S
SuppR(M/UM(0)). Suy ra
Lấy p ∈ AssR(M) sao cho dim(R/p) = d. Do AssR(M) ⊆ SuppR(M) nên
p ∈ SuppR(M). Do mỗi phần tử của SuppR(UM(0)) đều có chiều nhỏ hơn
d nên p ∈ SuppR(M/UM(0)). Suy ra dimR(M/UM(0)) = d. Chú ý rằng min SuppR(M/UM(0)) = min AssR(M/UM(0)).
Suy ra {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) =d} ⊆ AssR(M/UM(0)).
(ii) Giả sử L là R-môđun của M sao cho UM(0)⊆ L ⊆ M và thỏa mãn dimR L/UM(0)< d. Ta xét dãy khớp
0→ UM(0) →L →L/UM(0).
Vì dimR(UM(0)) < d và dimR(L) = max{dimR(UM(0)),dimR(L/UM(0))}
nên ta suy ra dimRL < d. Do UM(0) là môđun con lớn nhất có chiều nhỏ hơn d của M nên L ⊆ UM(0). Vì thế L = UM(0). Do đó L/UM(0) = 0.
Vậy M/UM(0) không có môđun con khác không nào có chiều nhỏ hơn d.
(iii) Theo (i), ta chỉ cần chứng minh
{p ∈ AssR(M) | dim(R/p) =d} ⊇ AssR(M/UM(0)).
Lấy p ∈ AssR(M/UM(0)). Khi đó R/p đẳng cấu với một môđun con khác không của M/UM(0). Áp dụng (ii) ta suy ra dim(R/p) = d. Từ dãy khớp
0 →UM(0) → M → M/UM(0) →0
ta có SuppR(M/UM(0)) ⊆ SuppR(M). Vì AssR(M/UM(0)) nằm trong SuppR(M/UM(0)) nên p ∈ SuppR(M) và do đó p ∈ min SuppR(M). Chú ý rằng min SuppR(M) = min AssR(M). Vì thế p ∈ min AssR(M). Điều này dẫn đến p ∈ {p ∈ AssR(M) |dim(R/p) =d}. Vậy ta có
Hệ quả 2.1.2. Khẳng định sau là đúng
AssR(UM(0)) = {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) < d}.
Chứng minh. Lấy p ∈ AssR(M) sao cho dim(R/p) < d. Khi đó R/p đẳng cấu với một môđun con của M, gọi là L. Suy ra
dimR(L) = dim(R/p) < d.
Do tính chất lớn nhất của UM(0) nên L ⊆ UM(0). Điều này dẫn đến AssR(L) ⊆ AssR(UM(0)). Chú ý rằng
AssR(L) = Ass(R/p) = {p}.
Vì thế p ∈ AssR(UM(0)). Vậy {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) < d} ⊆
AssR(UM(0)).
Ngược lại, nếu p ∈ AssR(UM(0)) thì AssR(UM(0)) ⊆ AssR(M). Suy ra
p ∈ AssR(M). Vì dimR(UM(0)) = max{dim(R/p) | p ∈ AssR(UM(0))} và dimR(UM(0)) < d nên dim(R/p) < d. Suy ra
AssR(UM(0)) ⊆ {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) < d}.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.3. Một lọc Hm0(M) = Dt ⊂ . . . ⊂ D0 = M các môđun
con của M được gọi là lọc chiều của M nếu mỗi Di là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR(Di−1).
Chú ý rằng, Hm0(M) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 0. Do đó Hm0(M) luôn xuất hiện trong lọc chiều. Theo Định lý 2.1.1, lọc chiều của M xác định và duy nhất. Tiếp theo ta tìm hiểu một số tính chất của lọc chiều.
Cho Hm0(M) = Dt ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M là lọc chiều của M. Với mỗi số nguyên i ∈ {0,1, . . . , t}, đặt di := dimR(Di). Khi đó d = d0 và
dt ≤ 0 (nếu Hm0(M) = 0 thì ta đặt dt = −1). Hơn nữa, di < di−1 với mọi
i = 1, . . . , t. Rõ ràng, mỗi Di là môđun con lớn nhất của Di−1 có chiều nhỏ hơn dimDi−1. Áp dụng Định lý 2.1.1, ta có ngay kết quả sau.
Mệnh đề 2.1.4. [10, Hệ quả 2.3] Cho i ≤t là một số nguyên. Khi đó
(i) AssR(Di) = {p ∈ AssR(M)|dim(R/p) ≤di}.
(ii) AssR(Di−1/Di) = {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) = di−1 }. Hơn nữa,
dimR(Di−1/Di) =di−1 với i = 1, . . . , t và AssR(M)\ {m} = t [ i=1 AssR(Di−1/Di).
Lọc chiều của một môđun còn có thể xác định thông qua phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của M. Nhắc lại rằng, N là môđun con nguyên sơ của M nếu N 6= M và phép nhân bởi a trên M/N là đơn cấu hoặc lũy linh với mỗi a ∈ R. Giả sử N là môđun con nguyên sơ của M. Đặt
p = Rad(AnnR(M/N)). Khi đó p là iđêan nguyên tố và ta nói N là p- nguyên sơ. Một phân tích N = G1 ∩ G2 ∩ ...∩Gn, trong đó Gi là môđun con pi-nguyên sơ của M, được gọi là một phân tích nguyên sơ của N. Phân tích nguyên sơ này được gọi là thu gọn nếuGi là không thừa và cácpi là đôi một phân biệt. Tập các {p1, . . . ,pn} không phụ thuộc vào việc chọn phân tích nguyên sơ thu gọn của N và đúng bằng tập AssR(M/N).
Bổ đề 2.1.5. [10, Mệnh đề 2.2] Cho i ≤ t là một số nguyên. Khi đó
Di = Ha0
i(M) = \ pj∈AssR(M) dim(R/pj)>di
Nj,
trong đó ai là giao tất cả các iđêan nguyên tố liên kết p của M thỏa mãn
dim(R/p) ≤ di và 0 = Tn
j=1Nj là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M với Nj là pj-nguyên sơ.
Chứng minh. VìHa0i(M) = Γai(M)nênAssR(Ha0i(M)) = AssR(M)∩Var(ai).
Do đó
dimR(Ha0
Theo tính chất lớn nhất của môđun con Di ta suy ra Ha0i(M) ⊆ Di.
Ngược lại, lấy x ∈ Di. Khi đó với mỗi iđêan nguyên tố p ∈ AssR(Rx) ta có p ∈ AssR(M) và dim(R/p) ≤di. Suy ra
Rad(AnnR(Rx)) = \ p∈AssR(Rx)
p ⊇ai.
Vì thế tồn tại số nguyên dương n sao cho ani.x = 0. Suy ra x ∈ Γai(M) =
Ha0i(M). Vì thế Di ⊆Ha0i(M). ĐặtDi0 = T pj∈AssR(M) dim(R/pj)>di Nj.Rõ ràngM/Nj ∼= (M/D0 i)/(Nj/Di0)vớidim(R/pj) > di, do đó 0M/D0 i = T pj∈AssR(M) dim(R/pj)>di
(Nj/D0i) là phân tích nguyên sơ thu gọn của
0 trong M/D0i.
Vì D0i/(Di0 ∩ Nj) ∼= (D0
i + Nj)/Nj ⊆ M/Nj với dim(R/pj) ≤ di, nên 0D0
i = T
pj∈AssR(M) dim(R/pj)≤di
(Di0∩Nj) là phân tích nguyên sơ thu gọn của 0trong Di0.
Suy ra
AssR(D0i) ⊆ {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) ≤ di}
và
AssR(M/Di0) ⊆ {p ∈ AssR(M) | dim(R/p) > di}.
Do đó Di0 ⊆ Di. NếuD0i 6= Di thìAss(Di/D0i) 6= ∅.Lấy p ∈ AssR(Di/Di0) ⊆
AssR(M/Di0).Dopj ∈ AssR(Di/Di0)nêndim(R/p) ≤ di.Vìp ∈ AssR(M/Di0) nên dim(R/p) > di. Điều này vô lý. Vậy Di0 = Di.