Chúng ta bắt đầu mục này với việc giới thiệu về tập lồi H¨older (có trọng) suy rộng của R.
Định nghĩa 4.2.1 ([29]). Cho C là một tập khác rỗng các số thực, r là số thực và w∈ R2
+. Tập C được gọi là
(1) lồi H¨older có trọng w bậc r nếu M(r,x,w) thuộc C với mọi x = (x1, x2) ∈ C × C,
(2) lồi H¨older yếu bậc r nếu tồn tại w˜ ∈ R2
+ sao cho C là lồi H¨older có trọng w˜
bậc r,
(3) lồi H¨older bậc r nếu nó là lồi H¨older có trọng w bậc r với mọi w∈ R2 +. Do định nghĩa này, rõ ràng các phép kéo theo sau đây đúng với mọi trọng w ∈ R2
+:
lồi H¨older bậc r =⇒ lồi H¨older có trọng w bậc r
Tuy nhiên, chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, ta có thể kiểm tra được rằng tập {0} ∪[1,2] là tập lồi H¨older yếu bậc r, với mọir ∈R, nhưng nó không là tập lồi H¨older bậc r.
Định nghĩa trên gắn liền với các tập con của tập các số thực. Trong phạm vi của hàm, chúng tôi nhận được các khái niệm suy rộng của tính lồi H¨older. Định nghĩa 4.2.2 ([29]). Cho r và s là hai số thực, w= (w1, w2)∈ R2
+ và C là tập con khác rỗng của R. Một hàm f : C → R được gọi là
(1) lồi kiểu H¨older có trọng w bậc (r, s) nếu C là một tập lồi H¨older có trọng w bậc r và bất đẳng thức sau
f(M(r, x1, x2,w)) 6M(s, f(x1), f(x2),w) =: M(s, fx,w) (4.6) đúng với mọi x1, x2 ∈ C,
(2) lồi kiểu H¨older yếu bậc (r, s) nếu tồn tại một trọng w˜ ∈ R2
+ sao cho f là lồi H¨older có trọng w˜ bậc (r, s),
(3) lồi kiểu H¨older bậc (r, s)nếu nó là một hàm lồi H¨older có trọng w bậc (r, s)
với mọi trọng w ∈ R2 +.
Định nghĩa 4.2.3 ([29]). Cho r và s là hai số thực, w= (w1, w2)∈ R2
+ và C là tập con khác rỗng của R. Một hàm f : C → R được gọi là
(1) lõm kiểu H¨older có trọng w bậc (r, s)nếuC là một tập lồi H¨older có trọngw bậc r và bất đẳng thức sau
f(M(r, x1, x2,w)) >M(s, f(x1), f(x2),w) =: M(s, fx,w) (4.7) đúng với mọi x1, x2 ∈ C,
(2) lõm kiểu H¨older yếu bậc (r, s) nếu tồn tại trọng w˜ ∈ R2
+ sao cho f là một hàm lõm H¨older có trọng w˜ bậc(r, s),
(3) lõm kiểu H¨older bậc (r, s) nếu nó là một hàm lõm H¨older có trọng w bậc
(r, s) với mọi trọng w ∈ R2 +.
Nếu đẳng thức (4.6) (t.ư, (4.7)) chỉ đúng khi x1 = x2 thì tính lồi (t.ư, lõm) được gọi là lồi (t.ư, lõm) nghiêm ngặt.
Nói riêng, ta có thể chứng tỏ rằng các hàm lồi (lõm) kiểu H¨older bậc (1,1)
quy về hàm lồi (lõm) theo nghĩa thông thường. Trước khi nói thêm về một số tính chất của hàm lồi (lõm) kiểu H¨older, chúng tôi cho một số ví dụ và nhận xét về sự tồn tại của các hàm lồi suy rộng mà nó có thể được xem như là các trường hợp riêng của hàm lồi suy rộng mà chúng tôi đưa ra.
Ví dụ 4.2.4 ([29]). Xét hàm f(x) =xα, α∈R, x∈(0,∞). Cho r và s là hai số thực khác không, nếu s > 0 và 0 < αs/r ≤1 thì h (w1xr1+w2xr2)1/ri α = h(w1xr1+w2xr2)αs/ri 1/s ≥ hw1(xr1)αs/r+w2(xr2)αs/ri 1/s (do bất đẳng thức Jensen) = [w1(xα1)s+w2(xα2)s]1/s với mọi trọng w = (w1, w2) ∈ R2 + và với mọi x1, x2 ∈ (0,∞). Do đó, f(x) = xα là một hàm lõm kiểu H¨older bậc (r, s)nếu s >0 và 0< αs/r ≤ 1. Tương tự, nếu s > 0 và αs/r ≥ 1 hoặc αs/r < 0 thì f(x) = xα là một hàm lồi kiểu H¨older bậc
(r, s).
Bằng cách lập luận tương tự, sẽ dẫn đến các kết luận rằng f(x) =xα là hàm lồi kiểu H¨older bậc (r, s) nếu s < 0 và 0 < αs/r ≤ 1, và khẳng định f là hàm lõm kiểu H¨older bậc (r, s) nếu s < 0 và αs/r ≥1 hoặc αs/r <0.
Nhận xét 4.2.5 ([29]). Giả sử rằng f : C → R là một hàm lồi suy rộng kiểu H¨older bậc (r, s). Từ Định nghĩa 4.2.2, các khẳng định sau đúng:
(i) Hàm g : Cr → R, x∈ C được xác định bởi g(y) =f(x), y = xr, là một hàm s-lồi mà nó đã được xem xét trong [29].
(ii) Nếu s= 1 thì f là một hàm r-lồi được xem xét trong [31]. Nếu r= 1 thì f trở về lớp hàm s-lồi được định nghĩa trong [29].
(iii) Với r= p∈ 2m+1
2n+1 : m, n∈Z+ và s= 1, lớp các hàm lồi H¨older bậc (p,1)
(iv) Khái niệm tính lồi kiểu H¨older bậc (0, r)là một mở rộng của khái niệm tính r-lồi hình học đã được nghiên cứu trong [94].
(v) Với r, s∈ {−1,0,1}, ta nhận được các lớp hàm M N-lồi, trong đó M và N thuộc tập các trung bình {A, G, H}.
Dựa vào Định nghĩa 4.2.2, các Bổ đề 4.1.1, 4.1.6 và bất đẳng thức Minkowski (xem [99]), ta dễ dàng chỉ ra được hai mệnh đề sau đúng.
Mệnh đề 4.2.6 ([29]). Cho r, s1 và s2 là các số thực sao cho s1 ≤ s2. Cho f : C →(0,∞) là một hàm. Khi đó, các khẳng định sau đúng.
(1) Nếu f lồi kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc (r, s1) thì f lồi kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc (r, s2),
(2) Nếu f lõm kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc (r, s2) thì f lõm kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc (r, s1).
Mệnh đề 4.2.7 ([29]). Cho r và s là các số thực và f, g : C → (0,∞) là các hàm. Khi đó, các khẳng định sau đúng.
(1) Nếu f lồi (lõm) kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc (r, s) và λ > 0 thì hàm λf cũng vậy,
(2) Nếu f, g lồi kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc (r, s) và s ≤1 thì f +g cũng vậy,
(3) Nếu f, g lõm kiểu H¨older (có trọng w, yếu) bậc(r, s) và s≥ 1 thì f +g cũng vậy.
Mệnh đề sau cho ta liên hệ giữa các lớp hàm lồi suy rộng kiểu H¨older có bậc khác nhau.
Mệnh đề 4.2.8 ([29]). Cho f : C ⊆ (0,∞) → (0,∞) là một hàm. Khi đó, các khẳng định sau đúng:
(1) Nếu f lồi kiểu H¨older bậc (r, s) và đơn điệu tăng thì nó cũng lồi kiểu H¨older bậc (r0, s0) với mọi r0 6r và s0 > s.
(2) Nếu f lõm kiểu H¨older bậc (r, s) và đơn điệu giảm thì nó cũng lõm kiểu H¨older bậc (r0, s0) với mọi r0 6r và s0 6 s.
Chứng minh. (1) Lấy x1, x2 ∈ C và w là trọng trong R2
+. Cho r0 6 r và s0 > s. Từ Bổ đề 4.1.6 và tính đơn điệu tăng của f, ta có
f(M(r0, x1, x2,w))6 f(M(r, x1, x2,w))
và
M(s, f(x1), f(x2),w)6 M(s0, f(x1), f(x2),w).
Điều này chứng tỏ rằng nếu f là lồi kiểu H¨older bậc (r, s) thì nó cũng lồi kiểu H¨older bậc (r0, s0).
(2) Cho x1, x2 ∈ C và w là một trọng chuẩn trong R2. Lấy r0 6 r và s0 6 s. Từ Bổ đề 4.1.6 và tính đơn điệu giảm của f, ta có
f(M(r0, x1, x2,w))> f(M(r, x1, x2,w))
và
M(s0, f(x1), f(x2),w)6M(s, f(x1), f(x2),w).
Từ đó khẳng định rằng nếu f là lõm kiểu H¨older bậc (r, s) thì f cũng lõm kiểu H¨older bậc (r0, s0).
Nhận xét 4.2.9 ([29]). Bằng cách đặt
M(∞;x;w) := max{x1, x2} và M(−∞;x;w) := min{x1, x2},
lớp các hàm lồi kiểu H¨older bậc (r,∞) trở thành một tổng quát hóa lớp các hàm tựa lồi và tựa lồi hình học được nghiên cứu trong [79].