4.4 Các bất đẳng thức cho hàm lồi suy rộng kiểuH¨older H¨older
Bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi đóng một vai trò cốt yếu trong lý thuyết bất đẳng thức. Thực tế cho thấy rằng một số bất đẳng thức khác như bất đẳng thức giữa trung bình số học và trung bình hình học, bất đẳng thức Ky Fan, các bất đẳng thức H¨older và Minkowski,... có thể nhận được như là trường hợp riêng của nó. Có nhiều tài liệu dành cho việc trình bày về bất đẳng thức Jensen bao gồm việc làm mịn, làm ngược, các kết quả tương tự và tổng quát hóa của nó. Trong mục này, chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức kiểu Jensen cho lớp hàm lồi suy rộng kiểu H¨older.
Trước khi phát biểu các kết quả, chúng tôi sẽ quy ước một số ký hiệu cho toàn bộ mục này. Giả sử rằng {wn}∞n=1 là một dãy các trọng không âm sao cho Wn := Pn
i=1wi > 0 với mọi số tự nhiên n. Khi đó, với mỗi dãy {xn}∞n=1 các số thực cùng âm hoặc cùng dương, ta định nghĩa
Mn(r,x,w) = (w1 Wnxr1+· · ·+ wn Wnxrn)1/r xi >0,∀i = 1, . . . , n, −(w1 Wn(−x1)r+· · ·+ wn Wn(−xn)r)1/r xi <0,∀i = 1, . . . , n, (4.28) khi r 6= 0 và bởi Mn(0,x,w) := lim r→0+Mn(r,x,w) = lim r→0−Mn(r,x,w) (4.29) khi r = 0.
Tương tự, nếu dãy {xn}∞n=1 ở trên thuộc miền xác định của f và miền giá trị của f chỉ chứa các số thực dương thì ta có thể định nghĩa
Mn(s, fx,w) := w1 Wnfs(x1) +· · ·+ wn Wnfs(xn)1/s nếu s6= 0, [f(x1)]w1/Wn. . .[f(xn)]wn/Wn nếu s= 0. Nói riêng, ta cũng sử dụng các ký hiệu
An(x) = 1
n(x1+· · ·+xn) và Gn(x) = √n
x1. . . xn
để chỉ các trung bình số học và trung bình hình học khi mọi thành phần của véc tơ x= (x1, . . . , xn) dương.