Định lý sau đây cho ta các điều kiện đủ về các bất đẳng thức lũy thừa, tương tự với các kết quả trong các bài báo [92, 93].
Định lý 4.5.6 ([29]). Cho α, r, s, t1, t2, t3 là các số thực sao cho rs 6= 0 và t1 < t2 < t3. Với mỗi véc tơ x = (x1, . . . , xn) có các thành phần dương, ký hiệu xα = (xα1, . . . , xαn). Ta xét các trường hợp sau:
(1) s > 0 sao cho αs/r ≥ 1 hoặc αs/r <0, (2) s > 0 sao cho 0< αs/r ≤1,
(3) s < 0 sao cho 0< αs/r ≤1,
Nếu các điều kiện trong (1) hoặc (3) được thỏa mãn thì Wn[(Mn(s,xα,w))s−(Mn(r,x,w))αs] ≥Wn−1[ Mn−1(s,xα,w)s−(Mn−1(r,x,w))αs] và r s (Mn(t1,x,w))αs −(Mn(t2,x,w))αs (Mn(t1,x,w))r −(Mn(t2,x,w))r ≤ r s (Mn(t2,x,w))αs−(Mn(t3,x,w))αs (Mn(t2,x,w))r −(Mn(t3,x,w))r . Ngược lại, nếu các điều kiện trong (2) hoặc(4) thỏa mãn thì các bất đẳng thức trên đổi chiều.
Trước khi chứng minh định lý trên, ta nhắc lại định lý sau.
Định lý 4.5.7 ([70, Định lý 1, trang 76]). Nếu a1 = · · · = an = a0 thì
Mn(t,a,w) = a0. Trong trường hợp còn lại, hàm Mn(t,a,w) tăng nghiêm ngặt theo t trên R.
Chứng minh của Định lý 4.5.6. Bất đẳng thức thứ nhất được suy ra trực tiếp từ Ví dụ 4.2.4 và Định lý 4.4.4. Sử dụng Định lý 4.5.7, ta thấy hàm f(t) =
Mn(t,x,w) tăng nghiêm ngặt trên R. Khi đó, với t1 < t2 < t3, ta nhận được
Mn(t1,x,w)<Mn(t2,x,w)<Mn(t3,x,w).
Từ đây, sử dụng Ví dụ 4.2.4 và Nhận xét 4.3.5, ta được bất đẳng thức thứ hai. Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã xây dựng một trung bình suy rộng kiểu H¨older mới bậc thực của các số thực bất kỳ chứ không chỉ của các số thực dương (Định nghĩa 4.1.2). Dựa vào trung bình mới này, chúng tôi định nghĩa lớp hàm lồi suy rộng kiểu H¨older và nghiên cứu các đặc trưng của nó (các Định lý 4.3.1 và 4.3.3). Bên cạnh đó, chúng tôi thiết lập các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado cho lớp hàm mới này (các Định lý 4.4.1 và 4.4.4), đồng thời đưa ra các áp dụng vào hàm Gamma (Định lý 4.5.1), chuỗi lũy thừa (Định lý 4.5.4) và trung bình lũy thừa (Định lý 4.5.6).
Kết luận
Trong luận án này, chúng tôi đã trình bày một số bài toán và kết quả mà chúng tôi đã thu được trong các công trình cũng như các tiền ấn phẩm trong suốt quá trình nghiên cứu. Kết quả cụ thể như sau:
• Xem xét một kiểu đối xứng tổng quát tương ứng với lớp hàm lồi suy rộng theo cặp tựa trung bình số học và thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér và các tổng quát hóa của nó (Định lý 1.2.1); Cung cấp một phương pháp hiệu quả để thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér cho tích phân bậc không nguyên; giới thiệu một số áp dụng vào hàm Gamma cũng đã được chỉ ra.
• Trình bày về bất đẳng thức Jensen và đưa ra một phương pháp cho phép cải tiến bất đẳng thức này (Định lý 2.1.1). Đưa ra một số áp dụng của nó vào làm mạnh định lý trội (Định lý 2.3.2) và tổng quát bất đẳng thức của Andersson (Định lý 2.3.4).
• Trình bày một số dãy đơn điệu liên quan đến tính đơn điệu của dãy và hàm suy rộng (các Định lý 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5).
• Trình bày một số bất đẳng thức tổng quát cho tính lồi trong không gian đo và áp dụng vào việc thiết lập bất đẳng thức cho tích phân bậc không nguyên (Định lý 3.2.1).
• Xây dựng lớp hàm lồi suy rộng kiểu H¨older mới; chỉ ra các đặc trưng của lớp hàm này (Định lý 4.3.1, 4.3.3), thiết lập các bất đẳng thức quan trọng có liên quan (các Định lý 4.4.1 và 4.4.4) và áp dụng của nó vào hàm Gamma (Định lý 4.5.1), chuỗi lũy thừa (Định lý 4.5.4) và trung bình lũy thừa (Định lý 4.5.6).
Trên cơ sở các kết quả mới của luận án, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau:
• Tính đơn điệu của tổng Riemann cho lớp hàm lồi H¨older và lớp hàm lồi sinh bởi cặp trung bình.
• Cải tiến điều kiện trong bất đẳng thức kiểu Jensen để nhận được kết quả tốt hơn cho lớp hàm lồi.
• Phát triển các kết quả của luận án trên không gian nhiều chiều, nghiên cứu áp dụng vào lý thuyết tối ưu.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. D. T. Duc, N. N. Hue, Jensen-type inequalities and their applications, J. Math. Inequal. 14 (2), (2020), 319–327.
2. D. T. Duc, N. N. Hue, N. D. V. Nhan, V. K. Tuan, Convexity according to a pair of quasi-arithmetic means and inequalities, J. Math. Anal. Appl., 488(1) (2020). Doi: 10.1016/j.jmaa.2020.124059.
3. D. T. Duc, N. N. Hue, L. Q. Thuan, New types of weighted H¨older means, convexity and applications, Submitted to Math. Inequal. Appl.
4. N. N. Hue, Some integral inequalities and their applications via fractional integrals, East-West J. Math. 21(2) (2019) 144-157.
5. N. N. Hue, D. Q. Huy,Monotonicity of sequences involving generalized con- vexity function and sequences, Tamkang J. Math. 46(2) (2015), 121-127.
Tài liệu tham khảo
[1] Abbaszadeh S., Ebadian A., Jaddi M. (2018), “Jensen type inequalities and their applications via fractional integrals”, Rocky Mountain J. Math., 48(8), pp. 2459-2488.
[2] Abdeljawad T. (2015), “On conformable fractional calculus”, J. Comput. Appl. Math., 279, pp. 57-66.
[3] Ahmad B., Alsaedi A., Kirane M., Torebek B.T. (2019), “Hermite-Hadamard, Hermite-Hadamard-Fejér, Dragomir-Agarwal and Pachpatte type inequal- ities for convex functions via new fractional integrals”, J. Comput. Appl. Math., 353, pp. 120-129.
[4] Aleman A. (1985), “On some generalizations of convex sets and convex func- tions”, Anal. Numér. Théor. Approx., 14(1), pp. 1-6.
[5] Alzer H., Qiu S.-L. (2003), Inequalities for means in two variables, Arch. Math. 80, 201–215.
[6] Aljinovi´c A. A., Krni´c M., Peˇcari´c J. (2014), “Weighted Montgomery identity for the fractional integral of a function with respect to another function”, Georgian Math. J., 21(1), pp. 1-10.
[7] Anderson, D.R. (2016), Taylor’s Formula and Integral Inequalities for Con- formable Fractional Derivatives, Contributions in Mathematics and Engi- neering, Springer, New York, pp. 25–44.
[8] Anderson G. D., Vamanamurthy M. K., Vuorinen M. (2007), “Generalized convexity and inequalities”, J. Math. Anal. Appl., 335(2), pp. 1294-1308.
[9] Andersson B. J. (1958), “An inequality for convex functions”, Nordisk Mat. Tidskr. 6, 25–26.
[10] Ando T., Hiai F. (2011), “Operator log-convex functions and operator means”, Math. Ann., 350(2), pp. 611-630.
[11] Aumann G. (1933), “Konvexe Funktionen und die Induktion bei Ungleichun- gen zwischen Mittelwerten”, Bayer. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. S.-B., pp. 403-415.
[12] Brenner J. L., Alzer H. (1991), “Integral inequalities for concave functions with applications to special functions”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 118, pp. 173-192.
[13] Budak H. (2019), “On Fejér type inequalities for convex mappings utilizing fractional integrals of a function with respect to another function”, Results Math., 74(1), art. 74:29, 15 pp.
[14] Bullen P.S. (2003), Handbook of Means and their Inequalities, Springer Sci- ence+ Business Media, Dordrecht, The Netherlands.
[15] Chen H., Katugampola U.N. (2017), “Hermite-Hadamard and Hermite- Hadamard-Fejér type inequalities for generalized fractional integrals”, J. Math. Anal. Appl., 446(2), pp. 1274-1291.
[16] Chen F., Wu S. (2014), “Fejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions”, J. Appl. Math., 1, pp. 1-6.
[17] Cloud M.J., Drachman B.C. (1998), Inequalities with Applications to Engi- neering, Springer.
[18] Day P.W. (1973), “Decreasing rearrangements and doubly stochastic opera- tors”, Trans. Amer. Math. Soc., 178, pp. 383-392.
[19] Dragomir S.S. (1992), “Two mappings in connection to Hadamard’s inequal- ities”, J. Math. Anal. Appl., 167, pp. 49-56.
[20] Dragomir S.S. (2001), “Refinements of the Hermite-Hadamard integral in- equality for log-convex functions”, Austral. Math. Soc. Gaz., 28(3), pp. 129- 133.
[21] Dragomir S.S. (2015), “A functional generalization of Ostrowski inequality via Montgomery identity”, Acta Math. Univ. Comenian., 84(1), pp. 63-78. [22] Dragomir S.S. (2015), “A functional generalization of trapezoid inequality”,
Vietnam J. Math., 43(4), pp. 663-675.
[23] Dragomir S.S. (2016), “Integral inequalities for convex functions and appli- cations for divergence measures”, Miskolc Math. Notes, 17(1), pp. 151-169. [24] Dragomir S.S., Mond B. (1998), “Integral inequalities of Hadamard’s type
for log-convex functions”, Demonstr. Math., 31, pp. 354-364.
[25] Dragomir S.S., Pearce C.E.M. (2002),Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University. [26] Dragomir S.S, Peˇcari´c J., Persson L.E. (1995), “Some inequalities of
Hadamard type”, Soochow J. Math., 21(3), pp. 335-341.
[27] Duc D.T., Hue N.N., “Jensen-type inequalities and their applications”, J. Math. Inequal. 14 (2), (2020), 319–327.
[28] Duc D.T., Hue N.N., Nhan N.D.V., Tuan V.K., “Convexity according to a pair of quasi-arithmetic means and inequalities”, J. Math. Anal. Appl., 488(1) (2020). Doi: 10.1016/j.jmaa.2020.124059.
[29] Duc D.T., Hue N.N., Thuan L.Q., “New types of weighted H¨older means, convexity and applications” (submitted to MIA).
[30] R. Dwilewicz (2009), “A short history of convexity”, Differ. Geom. Dyn. Syst., 11, pp. 112-129.
[31] Fang Z.B., Shi R. (2014), “On the (p, h)-convex function and some integral inequalities”, J. Inequal. Appl., 45, pp. 1-16.
[32] Fejér L. (1906), “ ¨Uber die Fourierreihen II”, Math. Naturwiss. Anz. Ungar. Akad. Wiss., 24, pp. 369-390 (in Hungarian).
[33] Fink A.M. (2003), “Andersson’s inequality”, Math. Inequal. Appl., 6(2), pp. 241-245.
[34] Gill P.M., Pearce C.E.M., Peˇcari´c J. (1997), “Hadamard’s inequality for r- convex functions”, J. Math. Anal. Appl., 215(2), pp. 461-470.
[35] Godunova E.K., Levin V.I. (1985), “Inequalities for functions of a broad class that contains convex, monotone and some other forms of functions”, Numer. Math. Math. Physics, 166, pp. 138-142 (in Russian).
[36] Guan K. (2010), “Multiplicative convexity and its applications”, J. Math. Anal. Appl., 362, pp. 156-166.
[37] Hadamard J. (1893), “Étude sur les propriétés des fonctions entiéres et en particulier d’une fonction considérée par Riemann”, J. Math. Pures Appl., 58, pp. 171-215.
[38] Hammer P.C. (1958), “The midpoint method of numerical integration”,Math. Mag., 31, pp. 193-195.
[39] Hardy G.H., Littlewood J.E., Pólya G. (1929), “Some simple inequalities satisfied by convex functions”, Messenger Math., 58, pp. 145-152.
[40] Hardy G.H., Littlewood J.E., Pólya G. (1934),Inequalities, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[41] Hermite Ch. (1883), “Sur deux limites d’une intégrale dé finie”, Mathesis, 3, p. 82.
[42] Hoa D.T., Khue V.T.B. (2018), “Some inequalities for operator(p, h)-convex functions”, Linear Multilinear A., 66(3), pp. 580-592.
[43] Hoa D.T., Duc D.T., Khue V.T.B. (2018), “A new type of operator convex- ity”, Act. Math. Vietnam., 43(4), pp. 595-605.
[44] Hue N.N. (2019), “Some integral inequalities and their applications via frac- tional integrals”, East-West J. Math., 21(2), pp. 144-157.
[45] Hue N.N., Huy D.Q. (2015), “Monotonicity of sequences involving generalized convexity function and sequences”, Tamkang J. Math., 46(2), pp. 121-127. [46] Hsu K.-C., Hwang S.-R., Tseng K.-L. (2017), “Some extended Simpson-type
inequalities and applications”, Bull. Iranian Math. Soc., 43(2), pp. 409-425. [47] Hudzik H., Maligranda L. (1994), “Some remarks on s-convex functions”,
Aequationes Math., 48(1), pp. 100-111.
[48] Hwang D.-Y., Tseng K.-L., Yang G.-S. (2007), “Some Hadamard’s inequali- ties for co-ordinated convex functions in the rectangle from the plane”, Tai- wanese J. Math., 11, pp. 63-73.
[49] ˙I¸scan ˙I. (2014), “Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically con- vex functions”, Hacet. J. Math. Stat., 43, pp. 935-942.
[50] ˙I¸scan ˙I. (2015), “Hermite-Hadamard–Fejér type inequalities for convex func- tions via fractional integrals”, Stud. Univ. Babe¸s-Bolyai Math., 60, pp. 355- 366.
[51] ˙I¸scan ˙I. (2016), “Hermite-Hadamard type inequalities forp-convex functions”, Int. J. Anal. Appl., 11, pp. 137-145.
[52] ˙I¸scan ˙I., Wu S. (2014), “Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions via fractional integrals”,Appl. Math. Comput., 238, pp. 237- 244.
[53] Jensen J.L.W.V. (1906), “Sur les fonctions convexes et les inéqualités entre les valeurs moyennes”, Acta Math., 30, pp. 175-193.
[54] Jichang K. (1999), “Some extensions and refinements of Minc-Sathre inequal- ity”, Math. Gaz., 83(496), pp. 123-127.
[55] Jleli M., O’Regan D., Samet B. (2016), “On Hermite-Hadamard type inequal- ities via generalized fractional integrals”,Turkish J. Math., 40, pp. 1221-1230. [56] Jleli M., Samet B. (2016), “On Hermite-Hadamard type inequalities via frac- tional integrals of a function with respect to another function”, J. Nonlinear Sci. Appl., 9, pp. 1252-1260.
[57] Katugampola U.N. (2014), “New approach to generalized fractional deriva- tives”, Bull. Math. Anal. Appl., 6, pp. 1-15.
[58] Khalil R., Horani M.A., Sababheh M. (2014), “A new definition of fractional derivative”, J. Comput. Appl. Math., 264, pp. 65–70.
[59] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. (2006), “Theory and applications of fractional differential equations”,North-Holland Math. Stud., 204, Elsevier Science Publisher B. V., Amsterdam.
[60] Kunt M., ˙I¸scan ˙I. (2017), “Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for p- convex functions”, Arab J. Math. Sci., 23, pp. 215-230.
[61] Liao J., Guan K. (2010), “On Alzer’s Inequality and its generalized forms”, J. Math. Inequal., 4(2), pp. 161-170.
[62] Liu W. (2015), “Ostrowski type fractional integral inequalities for MT-convex functions”, Miskolc Math. Notes, 16, pp. 249-256.
[63] Lorentz G.G. (1986), Bernstein Polynomials, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York.
[64] Lupa¸s A. (1976), “A generalisation of Hadamard’s inequalities for convex functions”, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., 544-576, pp. 115-121.
[65] Mohan S.R., Neogy S.K. (1995), “On invex sets and preinvex functions”, J. Math. Anal. Appl., 189(3), 901-908.
[66] Mortici C. (2008), “Arithmetic mean of values and value at mean of argu- ments for convex functions”, ANZIAM J., 50, pp. 137-141.
[67] Marshall A.W., Olkin I., Arnold B.C. (2011), Inequalities: Theory of Ma- jorization and its Applications, Springer Science+Business Media, LLC. [68] Mercer A.M. (2005), “A generalization of Andersson’s inequality”,J. Inequal.
Pure Appl. Math., 6(2), art. 57, 6 pp.
[69] Merkle M. (1996), “Logarithmic convexity and inequalities for the Gamma function”, J. Math. Anal. Appl., 203, pp. 369-380.
[70] Mitrinovi´c D.S., Vasi´c P.M. (1970), Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York.
[71] Niculescu C.P., Persson L.-E. (2018), Convex Functions and their Applica- tions: A Contemporary Approach, 2nd ed., Springer International Publishing AG, Part of Springer Nature, Switzerland.
[72] Noor M.A., Noor K.I., Awan M.U. (2016), “Some new estimates of Hermite- Hadamard inequalities via harmonically r-convex functions”, Matematiche, 71(2), pp. 117-127.
[73] Peˇcari´c J.E. (1980), “On the ˇCebyˇsev inequality”, Bul. S¸tiint¸. Tehn. Inst. Politehn. “Traian Vui” Timi¸soara Ser. Mat. Fiz., 25(39) pp. 5-9.
[74] Peˇcari´c J.E. (1984), “On the Ostrowski generalization of ˇCebyˇsev’s inequal- ity”, J. Math. Anal. Appl., 102(2), pp. 479-487.
[75] Peˇcari´c J.E., Proschan F., Tong Y.C. (1992),Convex Functions, Partial Or- derings and Statistical Applications, Academic Press, Boston.
[76] Peng S., Wei W., Wang J.-R. (2014), “On the Hermite-Hadamard inequalities for convex functions via Hadamard fractional integrals”, Facta Univ. Ser. Math. Inform., 29, pp. 55-75.
[77] Qi F., Chen C-P. (2004), “A complete monotonicity property of the Gamma function”, J. Math. Anal. Appl., 296(2), pp. 603-607.
[78] Qi F., Guo B.-N. (2006), “Monotonicity of sequences involving convex func- tion and sequence”, Math. Inequal. Appl., 9(2), pp. 247-254.
[79] Qi F., Xi B.-Y. (2014), “Some Hermite–Hadamard type inequalities for ge- ometrically quasi-convex functions”, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., 124(4), pp. 333-342.
[80] Raabe J.L. (1840), “Angen¨aherte Bestimmung der Factorenfolge 1·2·3·4·
5· · ·n = Γ(n+ 1) =R0∞xne−xdx, wennn eine sehr grosse Zahl ist”, J. Reine Angew. Math., 25, pp. 146-159.
[81] Sarikaya M.Z., Budak H. (2017), “Generalized Ostrowski type inequalities for local fractional integrals”, Proc. Amer. Math. Soc., 145(4), pp. 1527-1538. [82] Sarikaya M.Z., Set E., Yaldiz H., Ba¸sak N. (2013), “Hermite-Hadamard’s
inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities”, Math. Comput. Modelling, 57, pp. 2403-2407.
[83] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publish- ers, Amsterdam.
[84] Toader G., Toader S. (2007), “Means and generalized means”, J. Inequal. Pure Appl. Math., 8(2), art. 45, 6 pp.
[85] Trif T. (2008), “Characterizations of convex functions of a vector variable via Hermite-Hadamard’s inequality”, J. Math. Inequal., 2, pp. 37-44.
[86] Trif T. (2003), Convexity of the Gamma function with respect to H¨older means, In Cho Y.J., Kim J.K., Dragomir S.S. (Eds.), Inequality Theory and Applications 3, Nova Science Publishers, New York (pp. 189-195).
[87] Tseng K.-L, Hwang S.-R., Dragomir S.S. (2010), “Fejér-type inequalities (I)”, J. Inequal. Appl., art. 531976, 7 pp.
[88] Tseng K.-L, Hwang S.-R., Dragomir S.S. (2017), “Fejér-type inequalities (II)”, Math. Slovaca, 67, pp. 109-120.
[89] Varoˇsanec S. (2007), “On h-convexity”, J. Math. Anal. Appl., 326(1), pp. 303-311.
[90] Vasi´c P.M., Lackovi´c I.B. (1974), “On an inequality for convex functions”, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., 461-497, pp. 63-66. [91] Vasi´c P.M., Lackovi´c I.B. (1976), “Some complements to the paper: ‘On an
inequality for convex functions” ’,Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., 544-576, pp. 59-62.
[92] Wu S. (2009), “On a weighted and exponential generalization of Rado’s in- equality”, Taiwanese J. Math., 13(1), pp. 359-368
[93] Wu S., Debnath L. (2008), “Weighted generalization of Rado’s inequality and Popoviciu’s inequality”, Appl. Math. Lett., 21(4), pp. 313-319.
[94] Xi B., Qi F. (2014), “Hermite-Hadamard type inequalities for geometrically r-convex functions”, Studia Sci. Math. Hungar., 51(4), pp. 530-546.
[95] Yang G.S., Hong M.X. (1997), “A note on Hadamard’s inequality”,Tamkang J. Math., 28, pp. 33-37.
[96] Yang G.S., Tseng K.L. (1999), “On certain integral inequalities related to Hermite-Hadamard inequalities”, J. Math. Anal. Appl., 239, pp. 180-187. [97] Zabandan G., Bodaghi A., Kılı¸cman A. (2012), “The Hermite-Hadamard
inequality for r-convex functions”, J. Inequal. Appl., art. 215, 8 pp.
[98] Zhang X., Wang G., Chu Y. (2009), “Convexity with respect to H¨older mean involving zero-balanced hypergeometric functions”, J. Math. Anal. Appl., 353(1), pp. 256-259.
[99] Zhao C., Cheung W. (2011), “On Minkowski’s inequality and its application”, J. Inequal. Appl., art. 71, 5 pp.
Chỉ mục bất đẳng thức Andersson, 39 Fejér, 12 Jensen dạng rời rạc, 4 Jensen dạng tích phân, 5, 38 kiểu Hermite-Hadamard đối với
tích phân bậc không nguyên, 12 Popoviciu, 88 Rado, 88 hàm (Mφ,Mψ)-lõm, 10 (Mφ,Mψ)-lồi, 10 Mψ-lồi, 10 p-lồi, 12 r-lồi, 11
r-lồi điều hòa, 11 log-lồi, 11
log-lồi điều hòa, 11 hàm lõm
kiểu H¨older bậc (r, s), 75
kiểu H¨older có trọng w bậc
(r, s), 75
kiểu H¨older yếu bậc (r, s), 75 hàm lồi H¨older bậc r, 74 H¨older yếu bậc r, 74 kiểu H¨older bậc (r, s), 75 kiểu H¨older có trọng w bậc (r, s), 75 kiểu H¨older có trọng w bậc (r, s), 74
kiểu H¨older yếu bậc (r, s), 75 nhân, 12
thông thường, 11 điều hòa, 11
nguyên lý tương ứng Aczél, 14 trung bình
H¨older có trọng bậc r, 71 đa thức Bernstein, 40