Trước hết, ta nhắc lại kết quả của Anderson, Vamanamurthy và Vuorinen: Định lý 4.5.3 ([8, Định lý 3.1]). Cho f(x) = P∞
n=0anxn hội tụ trên (−R, R)với
0 < R < ∞, trong đó an > 0 với mọi n = 0,1,2, . . . Khi đó, các kết quả về tính lồi sau đây đúng.
(1) f là hàm AA-lồi và GG-lồi trên (0, R).
(3) Đặt bn = Pn
k=0akan−k. Nếu dãy{(n+1)an+1/bn}tăng (giảm) thìf làAH-lồi (lõm) trên (0, R).
(4) Đặt bn = Pn
k=0akan−k. Nếu dãy {nan/bn} tăng (giảm) thìf làGH-lồi (lõm) trên (0, R).
(5) Nếu dãy {R(n+ 1)an+1/an−n}tăng (giảm) thì hàm (R−x)f0(x)/f(x) tăng (giảm) trên (0, R). Hơn nữa, khi đó hàm logf(R(1 − e−t)) lồi (lõm) trên
(0,∞).
(6) Nếu dãy {nanRn} tăng (giảm) thì hàm (R−x)f0(x) tăng (giảm) trên (0, R). Hơn nữa, hàm f(R(1−e−t)) lồi (lõm) theo biến t trên (0,∞).
Định lý sau đây cho ta các điều kiện đủ để một hàm giải tích thực trở thành hàm lồi suy rộng kiểu H¨older bậc (r, s). Kết quả này là một tổng quát hóa của định lý trên.
Định lý 4.5.4 ([29]). Cho 0< γ ≤ ∞ và k, m là các số nguyên không âm. Cho f(x) =
∞
P
n=0
anxn là chuỗi lũy thừa thực hội tụ trên khoảng (−γ, γ). Với mỗi số nguyên n ≥0, ta ký hiệu b(nm) := X i1,...,im≥0 i1+···+im=n ai1ai2. . . aim và cn := n X i=0 (i+ 1)ai+1b(nm−)i. Khi đó, các khẳng định sau đúng:
(1) Nếu an > 0 với mọi n ≥ 0 thì f lồi suy rộng kiểu H¨older bậc (1−k, m+ 1)
trên (0, γ). Nói riêng,
fm+1 x1−k +y1−k 2 1/(1−k)! ≤ fm+1(√ xy)≤fm+1 x+y 2 ≤ 1 2 fm+1(x) +fm+1(y), (4.34)
(2) Nếu an >0 với mọi n ≥ 0 và dãy {(n+k)an+k/b(nm+)k}∞n=0 tăng (giảm) thì f lồi (lõm) suy rộng kiểu H¨older bậc (1−k,1−m) trên (0, γ),
(3) Nếu dãy {γn+kcn+k}∞n=0 tăng (giảm) thì (γ−x)xkf0(x)fm(x)tăng (giảm) trên
(0, γ). Nói riêng, nếu dãy {γn+kcn+k}∞n=0 tăng thì f lồi suy rộng kiểu H¨older bậc (1 −k, m+ 1) trên (0, γ). Nếu dãy {γn+kcn+k}∞n=0 giảm thì f lõm suy rộng kiểu H¨older bậc (2−k, m+ 1) trên (γ/2, γ) (với γ <∞).
Để chứng minh định lý trên, ta cần thêm bổ đề sau. Bổ đề 4.5.5 ([8, Bổ đề 1.1]). Cho f(x) = P∞
n=0anxn và g(x) = P∞
n=0bnxn là hai chuỗi lũy thừa thực hội tụ trên khoảng (−R, R) với 0 < R ≤ ∞. Nếu dãy
{an/bn} tăng (giảm) và bn > 0 với mọi n thì hàm
h(x) = f(x) g(x) = P∞ n=0anxn P∞ n=0bnxn
tăng (giảm) trên (0, R).
Chứng minh của Định lý 4.5.4. (1) Do các hệ số an dương, ta suy ra hàm số x7→ xkf0(x)fm(x) tăng trên (0, γ), tức là hàm số
(0, γ)3 x7→ f
0(x)[f(x)](m+1)−1
x(1−k)−1 ∈ R
tăng. Theo Định lý 4.3.6, hàm sốf lồi kiểu H¨older bậc (1−k, m+ 1) trên khoảng
(0, γ),
(2) Bằng các tính toán đơn giản, ta kiểm tra được rằng fm(x) =
∞
X
n=0
b(nm)xn, x ∈(0, γ).
Ngoài ra, từ các an >0, ta suy ra bn(m) >0 với mọi n ≥ 0. Theo Bổ đề 4.5.5, nếu dãy {(n+k)an+k/b(nm+)k}∞n=0 tăng (giảm) thì hàm số
(0, γ)3 x7→ f
0(x)[f(x)](1−m)−1
x(1−k)−1 ∈ R
tăng (giảm) trên (0, γ). Do đó, theo Định lý 4.3.6, nếu {(n+k)an+k/b(nm+)k}∞
n=0 là dãy tăng (giảm) thì f là hàm lồi (lõm) kiểu H¨older bậc (1−k,1−m)trên (0, γ).
(3) Nếu {γn+kcn+k}∞n=0 là dãy tăng thì dựa vào Bổ đề 4.5.5, hàm số x7→ (γ−x)xkf0(x)fm(x)
tăng trên (0, γ). Vì x7→ γ −x là hàm số giảm và dương trên (0, γ) nên hàm số
(0, γ)3 x7→ f
0(x)[f(x)](m+1)−1
x(1−k)−1 ∈ R
tăng trên (0, γ). Điều này dẫn đến f là hàm lồi H¨older bậc (1−k, m+ 1) trên khoảng (0, γ) dựa vào Định lý 4.3.6.
Nếu {γn+kcn+k}∞
n=0 là dãy giảm thì, theo Bổ đề 4.5.5, hàm số x7→ (γ−x)xkf0(x)fm(x)
giảm trên (0, γ). Ngoài ra x 7→ γx−x2 là hàm số tăng và dương trên (γ/2, γ). Do đó, hàm số
(γ/2, γ)3x7→ f
0(x)[f(x)](m+1)−1
x(2−k)−1 ∈R
giảm trên (γ/2, γ). Từ Định lý 4.3.6,f là hàm lõm kiểu H¨older bậc (2−k, m+ 1)
trên khoảng (γ/2, γ).