kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z 0, z1, z2thẳng hàng; đồng thời hai số thực k , l và số phức z0 phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm M bán kính
l ( R2 MI2) và đường tròn C có điểm chung, nghĩa là các đánh giá bất đẳng
k
thức ở lời giải trên xảy ra được dấu bằng.
Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z 0, z1, z2thẳng hàng ta thường sử dụng là z1 z 0 z 2 z 0 z1 z2 .
c. Ví dụ minh họa:
Bài tâp 34: (THPT PHẠM HỒNG THÁI–HÀ NỘI - LẦN 4 - 2018)
Cho hai số phức z, z2 1 thỏa mãn z 1 i z2 1 i 1 1 1 z z z 1 i z 2 2 1 1 2 1 1 i 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2 z1 2 i 2iz2 1 2i .
A. min T2 5 . B. minT 2 3 . C. minT 2 2 . D. minT3 2 .
Hướng dẫn giải:
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1,
Theo bài ra z1 1 iz2 1 i1 , suy ra quỹ tích điểm
B là đường tròn Ctâm I 1;1 có bán kính R 1 . z2 . A và quỹ tích điểm điểm Đặt điểm M thuộc 1; 1, ta có z1 z 2 z1 1 1i z 21 1i MA MB AB M 2 2 2
đoạn AB , nên theo công thức phương tích ta có
MA.MB R2 IM2 3 4. Lại có: T T 2 z1 2 i 2MAMB 2iz 1 2i 2 z 1 i 2i z 1 12 z 1 i z 1 i 2 1 2 2 2 2i 1 2 2 4 MA.MB 2 3 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MAMB
thẳng qua M vuông góc với IM và đường tròn
hay
C .
A, B là giao điểm của đường
II.3. VẤN ĐỀ 3: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến đường elip.
Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E-lip E có độ dài trục lớn là
2a , độdài trục bé là 2b, tâmđối xứng làI; điểmMthay đổi trênE. Xác địnhvị trí điểm M sao cho độ dài đoạn IM lớn nhất, nhỏ nhất và tính các giá trị đó.
a. Hướng dẫn giải:
B
M
A' I A
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toántrên: trên:
Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích điểm biểu diễn của nó là một đường E-lip.
Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất mô-đun z z0 với z0 là số phức có
điểm biểu diễn là tâm của E-lip .
Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của hai số phức z 0, z lần lượt là I, M .
Gọi đường E-lip biểu diễn quỹ tích số phức z là E . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.