sao cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường tròn C; đồng thời hai số thực k, l phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm B bán kính k2R2l l2 và đường tròn (C) có điểm chung, nghĩa là các đánh giá BĐT ở lời giải trên xảy ra được dấu bằng.
c. Ví dụ minh họa:Bài Bài
phức z
tâp 33: (THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ – HÀ NỘI - 2017) Cho số
z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 2 z 1 .
A. max T2 5 B. maxT2 10 C. maxT 3 5 D. max T3 2
2
Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra z
là đường tròn C tâm O bán kính R 1 .
Đặt A1; 0,B1; 0, vẽ hình trực quan dễ thấy AB
1 nên quỹ tích điểm M
nhận O làm trung điểm nên trong MAB ta có MO 2 MA2 MB 2 AB2
2 4 MA2 MB22MO2 AB24 2 . Khi đó T z 1 2 z 1 MA2MB 2 22 . MA2 MB2 1 2 5 , dấu bằng xảy ra khi MB 2MA MA 2
55 A là giao điểm của đường tròn C với đường tròn tâm A bán kính 2 5.
5
Suy ra maxT 2 5 .
Bài toán 8: Trong mặt phẳng
kính R . Điểm M cố định nằmở trên C sao cho ba điểm M,A,B
tổng độ dài k .MAl.MB (với k0,
a. Hướng dẫn giải:
tọa độ Oxy cho đường tròn C có tâm I bán miền trong đường tròn; hai điểm A, B thay đổi
thẳng hàng . Xác định vị trí hai điểm A,Bđể l 0 ) giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này.
I A A M B C +) Ta có tích MA.MB , suy ra MA.MB R2
chính là độ lớn phương tích của điểm M với đường tròn
MI 2.
+) Vậy: k .MA l .MB 2 klMA.MB 2 kl ( R2 MI2) .
l
+) Từ đó ta có: A
với đường tròn C .
là giao điểm của đường tròn tâm M bán kính l (R2MI2)
k
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toántrên: trên:
Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc hai số phức z1, z2 sao cho quỹ
tích điểm biểu diễn chúng cùng là một đường tròn. Chọn một số phức z0 có điểm biểu diễn nằm ở miền trong đường tròn biểu diễn z1 , z2
. Tạo một điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn z0,z1,z2 thẳng hàng.
Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng mô-đun k z 0 z1 l z 0 z2 .
Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z0 ,z1 ,z2 lần lượt là
1 2
là . Khi đó bài