VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
2.Ứng dụng trong cách bài toán về tối ưu chi phí sản xuất
Học sinh học tại Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc phần lớn là con em các hộ nông dân, công nhân tham gia lao động, sản xuất tại địa phương. Do đó, công việc sản xuất, lao động hết sức quen thuộc với các em. Tuy nhiên, trong quá
2 a + 0 0 5
công, vật liệu, …) mà sử dụng các kiến thức về hàm số học tại chương trình GDTX cấp THPT thì không phải HS nào cũng cũng có thể vận dụng được. Dưới đây tác giả xin đưa ra một số bài toán về tối ưu chi phí sản xuất:
Bài toán. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật
không nắp có thể tích bằng Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/ . Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công là thấp nhất. Khi đó chi phí thuê đó là bao nhiêu?
Phân tích:
Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x, h lần lượt là chiều rộng và chiều cao của đáy bể. Như vậy, ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do đó chiều dài của đáy bể là .
Từ đó ta thiết lập được diện tích cần xây dựng bể là S. Bài toán trở thành tìm
Lời giải
Gọi là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là và là chiều cao của bể.
Bể có thể tích Diện tích cần xây là: Xét hàm số: với Bảng biến thiên: x + 0 0
Suy ra chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: đồng.
Bài toán tương tự 1. Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích Đáy bể làm bằng bê tông giá Phần thân làm bằng tôn giá
, nắp bằng nhôm giá Hỏi chi phí sản xuất để bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: Mà ta có:
Để chi phí thấp nhất thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất với mọi Ta có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Bài toán tương tự 2: Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các
x
+
0
quanh của thùng đó là 100000 đồng/ , chi phí làm mặt đáy là 120000 đồng/ Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).
Lời giải
Gọi chiều cao hình trụ là
Gọi bán kính đáy hình trụ là .
Thể tích khối trụ là: .
Diện tích mặt xung quanh là: . Diện tích hai đáy là:
Số tiền cần thiết để sản xuất một thùng sơn là:
Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy với số tiền1 tỷ đồng thì công ty có thể sản xuất tối đa là: (thùng).
Bài toán tương tự 3. Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên
cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê. Sau khi nghiên cứu, người
x + 0 0 2 5
thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là 18000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Lời giải
Gọi là giá của một cốc cà phê và là số cốc
cà phê bán trong một tháng. Theo đề bài ta có:
Ta có lợi nhận là:
Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá 29000 đồng thì đạt lợi nhuận lớn nhất.
Bài toán tương tự 4. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc
khăn với giá 30000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Lời giải
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là (nghìn đồng). Vì cứ tăng giá
thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100x chiếc.
Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: chiếc.
Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 + x (nghìn đồng).
Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là: (nghìn đồng).
Xét hàm số trên khoảng . Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là 39.000 đồng.
Bài toán tương tự 5. Một công ty bất động sản có 150 căn hộ cho thuê,
biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100000đ mỗi tháng thì có thêm 5 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu đồng một tháng?
Lời giải
Số tiền thuê căn hộ là: với
Ta có:
Suy ra khi
Vậy muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ 2500000 đồng một tháng.
Bài toán tương tự 6. Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một
bức tường nhà. Ông muốn cái thang phải luôn đặt qua vị trí biết rằng điểm cao so với nền nhà và điểm cách tường nhà (như hình vẽ). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất thang (làm tròn đến hàng nghìn đồng)?
Đặt . Ta có
Do đó chi phí để sản xuất thang là: với
Ta có:
Khi đó chi phí sản xuất thang là 1249000 đồng.
Bài toán tương tự 7. Một xe buýt của hãng xe có sức chứa tối đa là 50
hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là (nghìn đồng). Hỏi một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất là bao nhiêu nghìn đồng?
với
Ta có:
Bảng biến thiên
Vậy một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất là 3200000 đồng.
x
+
0 40 50
CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG TÂM GDNN-
GDTX YÊN LẠC”
Trên đây là những bài toán thực tế thuộc các dạng khác nhau trong chương trình Toán THPT sử dụng phương pháp đạo hàm mà bản thân tôi đã thực hiện một số năm ở Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc. Tuy không phải là vấn đề hoàn toàn mới nhưng qua thực tế giảng dạy, khi áp dụng chuyên đề này cho bản thân tôi và tổ bộ môn, tôi thấy chuyên đề đã đạt được những kết quả và lợi ích cơ bản sau: