Function)
Song song với việc xác định hàm tương quan giữa các cặp y(t) và y(t+k), ta xác định hàm tự tương quan riêng phần cũng có hiệu lực trong việc can thiệp đến các quan sát y ( t + l ) , y ( t + k - l ) . Hàm tự tương quan riêng phần tại độ trễ k Ckk được ước lượng bằng hệ số liên hệ y(t) trong mối kết hợp tuyến tính bên dưới. Sự kết hợp được tính dựa trên tầm ảnh hưởng của y(t) và các giá trị trung gian y(t+k).
y(t + k) = Ck1y(t + k -1) + Ck2y(t + k- 2) +... + Ckk-1y(t +1) + Ckky(t) + e(t)
Giải phương trình hồi quy dựa trên bình phương tối thiểu (OLS) vì hệ số hồi quy Ckj phải được tính ở mỗi độ trễ k, với j chạy từ 1 đến k.
Giải pháp ít tốn kém hơn do Durbin phát triển dùng để xấp xỉ đệ quy hệ số hồi quy cho mô hình ARIMA chuỗi dừng, sử dụng giá trị hàm tự tương quan tại độ trễ k rk và hệ số hồi quy của độ trễ trước. Duới đây là phương pháp Durbin sử dụng cho 3 độ trễ đầu tiên:
Độ trễ 1: Khởi tạo, giá trị của hàm tự tương quan riêng phần tại độ trễ 1 có cùng giá trị với hàm tự tương quan tại độ trễ 1 vì không có các giá trị trung gian giữa các quan sát kế tiếp: C11 = r1
Độ trễ 2: Hai giá trị C22và C21 được tính dựa vào hàm tự tương quan r2 và r1, cùng với hàm tự tương quan riêng phần trước đó
C22 =
C21 = C11 - C22 C11
Độ trễ 3: Tương tự, ba giá trị C33, C32 và C31 được tính dựa vào các hàm tự tương quan trước r3, r2, r1 cùng với các hệ số được tính ớ độ trễ thứ 2: C22 và C21
C33 =
C32 = C21 - C33 C22 C31 = C22 - C33 C21
Tổng quát, hàm tự tương quan riêng phần được tính theo Durbin:
Ckk = ∑
∑ Trong đó:
v: phương sai
Ckj: hàm tự tương quan riêng phần cho độ trễ k, loại bỏ những ảnh hưởng của các độ trễ can thiệp j
Ckj = Ck-1, j – (Ckk).(Ck-1,k-j)
C11 = r1
Sử dụng những giả thiết cho kiểm định:
Ho : pkk = 0 Hα : pkk ≠ 0 t = √ √
Khi độ trễ tăng, số các hệ số tăng theo. Phương pháp của Durbin cho phép việc tính đệ quy dựa vào việc sử dụng kết quả trước đó. Trong thực tế, với chuỗi có N quan sát, Box - Jenkins đưa ra cách tính hàm tự tương quan và hàm tự tương quan riêng phần với N/4 độ trễ, giá trị tối thiểu của N là 50.
Tại độ trễ thứ 1, giá trị của hàm tự tương quan riêng phần chính là giá trị hàm tự tương quan. Giá trị âm cho thâ'y hệ sô" âm giữa các khoảng thời gian kề nhau.
Tóm lại, hàm tự tương quan ACF và hàm tự tương quan riêng phần PACF của chuỗi thời gian có các đặc tính khác nhau. Hàm tự tương quan ACF đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa các cặp quan sát. Hàm tự tương quan riêng phần PACF đo mức độ phụ thuộc tuyến tính từng phần. ARIMA khai thác những điểm khác biệt này để xác định cấu trúc mô hình cho chuỗi thời gian.
Xu hướng vận động của hàm tự tương quan riêng phần PACF có thể giảm đột ngột (thường sau độ trễ 1 hoặc 2) hay có thể giảm đều (dying down). Cũng như hàm tự tương quan ACF, xu hướng giảm đều của hàm tự tươngquan riêng phần PACF cũng có các dạng phân phối mũ, dạng sóng hình sin hoặc kết hợp cả 2 dạng này (Hình 3.6, 3.7, 3.8)
Hình 3. 6 a) Dao động hàn số mũ tắt dần
Hình 3. 7 b) Dao động tắt dần theo luật số mũ