Trường hợp ủặc biệt của ủịnh lý Turan cho ủồ thị khụng chứa tam giỏc ủược chứng minh bởi Mantel vào năm 1907.
Số lớn nhất cỏc cạnh (ký hiệu là ) của một ủồ thị n ủỉnh và khụng chứ tam giỏc ủạt ủược ởủồ thị hai phe ủầy ủủ n ủỉnh với kớch thước hai phe càng gần nhau càng tốt (cụ thể là [n/2] và [(n+1)/2].
Định lý Turan ở dạng tổng quỏt ủược chứng minh vào những năm 40 của thế kỷ trước. Số lớn nhất cỏc cạnh (ký hiệu là ) của ủồ thị n ủỉnh khụng chứa ủồ thị con ủầy ủủ (r+1) ủỉnh ủạt ủược tại ủồ thị r phe ủầy ủủ với n ủỉnh, trong ủú kớch thước của cỏc phần càng gần nhau càng tốt.
Paul Turan
Chứng minh ủịnh lý Turan: Thực sự ủịnh lý Turan khụng khú; gần như cỏch tiếp cận nào cũng cú thể thành cụng. Sau ủõy là một cỏch tiếp cận như vậy: ủể ủơn giản, ta xột trường hợp tam giỏc. Xột ủỉnh v với bậc lớn nhất và chia cỏc ủỉnh cũn lại của ủồ thị thành hai phần: A – cỏc ủỉnh kề với v, B – là cỏc ủỉnh cũn lại. Bõy giờ chỳ ý là cỏc ủỉnh thuộc A lập thành một tập hợp ủộc lập (tức là khụng cú cạnh nối giữa cỏc ủỉnh của A). Với mỗi ủỉnh thuộc B ta xoỏ ủi tất cả cỏc cạnh chứa ủỉnh này và thay vào ủú, nối ủỉnh này với tất cả cỏc ủỉnh thuộc A. Để ý rằng trong ủồ thị mới, bậc của mỗi ủỉnh ủều khụng nhỏ hơn bậc ở ủồ thị ban ủầu. Và, hơn nữa, ủồ thị mới là ủồ thị hai phe (trong ủú A là một phe). Cuối cựng ta chỉ cần chứng minh là với ủồ thị hai phe thỡ số cạnh là lớn nhất khi hai phần cú sốủỉnh càng gần nhau càng tốt.
Sau ủõy là một chứng minh khỏc. Xoỏ ủi một ủỉnh của ủồ thị G với n+1 ủỉnh khụng chưỏ . Số cạnh của ủồ thị cũn lại khụng vượt quỏ . Thực hiện ủiều này ủối với tất cả cỏc ủỉnh và chỳ ý rằng một một cạnh ủược tớnh n-1 lần. Ta thu ủược rằng số cạnh trong G (và
68 | Trần Nam Dũng – 6/2010
nghĩa là ) khụng vượt quỏ phần nguyờn trờn của . Đỏnh giỏ này cho chỳng ta kết quả chớnh xỏc của bài toỏn.
Chỳng ta kết thỳc chuyến tham quan thỳ vị này bằng bài toỏn mà Turan ủưa ra vào năm 1940. Chỳng ta muốn tỡm số phần tử lớn nhất của tập hợp cỏc bộ ba lập từ {1,2,…,n} khụng chứa một “tứ diện”, tức là khụng chứa bốn bộ ban cú dạng {a,b,c},{a,b,d),{a,c,d},{b,c,d}.
Nếu ủộc giả chưa biết ủỏp số, hóy thửủưa ra dựủoỏn của mỡnh. Turan ủó ủưa ra một giả thuyết của mỡnh và giả thuyết này hiện nay vẫn cũn là một vấn ủề mở.
Trần Nam Dũng dịch và giới thiệu (từ web site của Seminar: Tối ưu tổ hợp I)
Một số ghi chỳ thờm của dịch giả:
Đối xớch: Trong một tập sắp thứ tự (partial order set), một ủối xớch là một họ cỏc phần tử ủụi một khụng so sỏnh ủược với nhau.
LYM: Lubell, Yamamoto, Meshalkin là những người ủó chứng minh ủịnh lý này một cỏch ủộc lập. Bollobas là người thứ tư cũng tỡm ra kết quả này một cỏch ủộc lập.
69 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Về kỳ thi chọn ủội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010
Trần Nam Dũng
Kỳ thi chọn ủội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010 (VTST 2010) ủược tổ chức trong hai ngày 17, 18/4 với sự tham gia của 42 thớ sinh ủến từ cỏc tỉnh thành và cỏc trường ĐH. Thành phần tham dự TST năm nay cú khỏ nhiều ủiểm ủặc biệt. Hai ủội cú lực lượng hựng hậu nhất tham dự TST là Nghệ An (6 em) và Đà Nẵng (5 em). Cỏc ủơn vị lần ủầu tiờn cú thớ sinh dự TST là Bà Rịa Vũng Tàu (2 em), ĐHSP Tp HCM (1 em). Một ủiểm nổi bật nữa là Phỳ Yờn với 3 học sinh tham dự TST. Bờn cạnh ủú, cú thể nhấn mạnh sự vắng mặt của một sốủơn vị cú truyền thống như Hải Phũng, Thanh Húa, ĐH Vinh hay sự xuống sức của cỏc ủơn vị cú số mỏ khỏc như Vĩnh Phỳc, PTNK.
Như thường lệ, ủề thi chọn ủội tuyển năm nay cú 6 bài. Điểm ủặc biệt là năm nay chỉ cú 1 bài hỡnh, 1 bài ủại số. Cỏc phõn mụn Số học và Tổ hợp ủược “ưu ỏi” hơn với 2 bài. Bài 1 và 4 ủược coi là cỏc bài dễ của kỳ thi. Bài 2 thuộc loại trung bỡnh. Cỏc bài 5, 6 ủược ủỏnh giỏ là khú và bài 3 là rất khú. Đỏnh giỏ chung là ủề năm nay khụng khú bằng ủề năm ngoỏi.
Cụng tỏc chấm thi ủó ủược tiến hành ngay sau kỳ thi và kết quả ủó chọn ủược 6 thành viờn tham dự IMO 2010.
Trỏi với dựủoỏn lạc quan của nhiều người, ủiểm thi năm nay khụng cao hơn nhiều so với năm ngoỏi, ủiểm cao nhất ủội tuyển là 24 và ủiểm thấp nhất là 18. Như vậy, kỳ thi năm nay một lần nữa lại khẳng ủịnh chõn lý: Nếu làm 3 bài chắc ăn thỡ sẽ lọt vào ủội tuyển. Kết quả này tiếp tục cho thấy ủiểm yếu chung của thớ sinh vẫn là hai mảng Số học và Tổ hợp, cũng như khõu trỡnh bày của thớ sinh rất cú vấn ủề. Sau kỳ thi, khỏ nhiều thớ sinh tuyờn bố mỡnh làm ủược 4 bài nhưng kết quả thực tế cho thấy khụng phải như vậy.
Cú một số ý kiến cho rằng cỏc bài toỏn 5, 6 khụng phự hợp với ủề thi chọn ủội tuyển và ủem lại lợi thế cho những ai ủó biết ủịnh lý Hall và ủịnh lý Lucas. Tuy nhiờn, theo ý kiến của chỳng tụi, ở mức ủộ kỳ thi chọn ủội tuyển, nếu chỳng ta muốn cú một ủội tuyển mạnh, ủủ sức tấn cụng cỏc bài toỏn 3, 6 của IMO thỡ cần phải nõng tầm kiến thức cũng như suy luận của học sinh ủến mức ủộ cỏc ủịnh lý này. Chỳ ý là cỏc ủịnh lý này rất sơ cấp và chứa ủựng nhiều phương phỏp tư duy và lý luận ủẹp và hay.
Cuối cựng, xinh chỳc mừng cỏc thớ sinh ủó vượt qua kỳ thi Vietnam TST vừa qua, chỳc ủội tuyển Việt Nam cú thành tớch xuất sắc tại IMO 2010!
70 | Trần Nam Dũng – 6/2010
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN VN DỰ THI TOÁN QUỐC TẾ
Ngày 1, 17/4/2010
Thời gian làm bài: 240 phỳt.
BÀI 1. (6 ủiểm) Cho tam giỏc ABC khụng vuụng tại A cú trung tuyến AM. D là một ủiểm chạy trờn AM. Gọi (O1), (O2) lần lượt là cỏc ủường trũn ủi qua D và tiếp xỳc với BC tại B và C. CA cắt (O2) tại Q. BA cắt (O1) tại P.
a) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của (O1) và tiếp tuyến tại Q của (O2) phải cắt nhau. Gọi giao ủiểm này là S.
b) Chứng minh rằng S luụn chạy trờn một ủường cốủịnh khi D chạy trờn AM.
BÀI 2. (6 ủiểm) Với mỗi số n nguyờn dương, xột tập sau
Tỡm tất cả n sao cho khụng tồn tại a khỏc b thuộc Tn sao cho a-b chia hết cho 110.
BÀI 3. (8 ủiểm) Hỡnh chữ nhật kớch thước 1*2 ủược gọi là hỡnh chữ nhật ủơn. Hỡnh chữ nhật 2*3 bỏ di 2 ụ ở gúc chộo nhau (tức cũn cú 4 ụ) gọi là hỡnh chữ nhật kộp. Người ta ghộp khớt cỏc hỡnh chữ nhật ủơn và hỡnh chữ nhật kộp ủược bảng 2008*2010. Tỡm số bộ nhất cỏc hỡnh chữ nhật ủơn cú thể dựng ủể lỏt ủược như trờn.
Ngày 2, 18/4/2010
Thời gian làm bài: 240 phỳt.
BÀI 4. (6 ủiểm) Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món ủiều kiện .
Chứng minh rằng
.
BÀI 5. (7 ủiểm) Cú n mỗi nước cú k ủại diện (n > k > 1). Người ta chia n.k người này thành n nhúm mỗi nhúm cú k người sao cho khụng cú 2 người cựng nhúm ủến từ 1 nước. Chứng minh rằng cú thể chọn ra n người ủến từ cỏc nhúm khỏc nhau và ủến từ cỏc nước khỏc nhau.
BÀI 6. (7 ủiểm) Gọi Sn là tổng bỡnh phương cỏc hệ số trong khai triển của (1+x)n. Chứng minh rằng S2n + 1 khụng chia hết cho 3.
71 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Lời giải và Nhận xột Bài 1.
Ta cú MB2 = MC2 nờn M thuộc trục ủẳng phương của (O1) và (O2). Suy ra DM là trục ủẳng phương của 2 ủường trũn. Do ủú A thuộc trục ủẳng phương của 2 ủường trũn. Suy ra AP.AB = AQ.AC => tứ giỏc BCPQ nội tiếp.
Gọi tiếp tuyến của (O1) là Px thỡ ∠xPB = ∠PBC = ∠PQA, suy ra Px tiếp xỳc với (APQ) hay (APQ) tiếp xỳc với (O1). Tương tự suy ra (APQ) tiếp xỳc với cả (O1) và (O2).
Tam giỏc APQ ủồng dạng với ACB nờn APQ khụng vuụng. Suy ra tiếp tuyến tại P và Q phải cắt nhau tại S.
Vỡ SP2 = SQ2 nờn S thuộc trục ủẳng phương của (O1) và (O2), chớnh là ủường thẳng AM, hay S thuộc một ủường thẳng cốủịnh.
Bài 2. Đặt s(k,h, n) = 11(k + h) + 10(nk + nh). Do s(h,k) = s(k, h) nờn ta luụn giả sử k ≥ h. Ta thấy nếu n ≡ m thỡ s(k,h, n) ≡ s(k,h,m) mod 110, do ủú ta chỉ cần tỡm cỏc n ≤ 11. Xột s(6,6,n) – s(1,1,n) = 110 + 20n(n5-1). Do ủú nếu n(n5-1) chia hết cho 11 thỡ n khụng thỏa món ủiều kiện. Từủõy ta loại cỏc giỏ trị n = 1, 3, 4, 5, 9, 11. Xột s(8,2,n) – s(6,4,n) = 10(n8-n6+n2-n4) = 10(n6-n2)(n2-1). Do ủú nếu n2 – 1 chia hết cho 11 thỡ n khụng thỏa món ủiều kiện. Vậy ta loại giỏ trị n = 10.
Ta chứng minh với n = 2, 6, 7, 8 thỡ s(k,h,n) – s(k’,h’,n) khụng chia hết cho 110 với mọi bộ {k, h} ≠ {k’,h’}.
Trước hết bằng cỏch thử trực tiếp, ta thấy rằng với n = 2, 6, 7, 8 thỡ nk ≠ nh mod 11 với mọi k ≠ h. (*)
Thật vậy, nếu s(k,h,n) – s(k’,h’,n) chia hết cho 110 thỡ 11(k+h-k’-h’) + 10(nk+nh-nk’-nh’) chia hết cho 110, suy ra
k+h – k’ – h’ ≡ 0 mod 10 (1) và
nk + nh – nk’ – nh’ ≡ 0 mod 11 (2)
Từ (1) suy ra k – k’ ≡ h’ – h (mod 10). Từ ủõy, theo ủịnh lý nhỏ Fermat, ta cú nk-k’≡ nh’-h (mod 11)
Viết (2) lại thành nk’(nk-k’-1) ≡ nh(nh’-h-1) (mod 11).
Theo lý luận ở trờn thỡ nk-k’-1 ≡ nh’-h-1 mod 11. Theo (*) thỡ nk-k’-1 ≡ nh’-h-1 ≠ 0. Như vậy ta cú thể chia hai vế cho nk-k’-1 ủểủược nk’≡ nh (mod 11). Từ (*) suy ra k’ = h. Từ (1) suy ra k = h’. Như thế {k,h} = {k’, h’}. Ta ủược ủiều phải chứng minh.
Nhận xột. Cú thể ủưa ra ủặc trưng ngắn gọn cho cỏc số n thỏa món ủiều kiện là: n phải là căn nguyờn thủy modulo 11. Bài toỏn cú thể tổng quỏt húa bằng cỏch thay 11 bằng 1 số nguyờn tố bất kỳ (và dĩ nhiờn 10 ủược thay bằng p-1 và 110 ủược thay bằng p(p-1). Đõy là một bài toỏn khỏ ủẹp. í tưởng ủơn giản nhưng khụng tầm thường.
72 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Bài 3. Ta chứng minh số hỡnh chữ nhật ủơn nhỏ nhất cần sử dụng là 1006.
Trước hết ta chỉ ra cỏch ghộp khớt tạo thành hỡnh chữ nhật 2008 x 2010 với 1006 hỡnh chữ nhật ủơn (và cỏc hỡnh chữ nhật kộp). Khối 1 Khối 2 Khối 3 Khối 4 Trờn hỡnh vẽ mụ tả cỏch ghộp hỡnh chữ nhật 10 x 16. Hỡnh chữ nhật 2010x2008 cú thể ủược tạo thành từ cấu hỡnh trờn như sau: + Thờm dũng bằng cỏch chốn thờm cỏc khối cú dạng
vào giữa cỏc khối hợp thành từ 4 cột liờn tiếp. Mỗi lần thờm ủược 2 dũng.
+ Thờm cột bằng cỏch lặp lại cỏc khối 4 cột liờn tiếp (chỳ ý tớnh tuần hoàn của cỏc khối này: Khối 1 ~ Khối 3, Khối 2 ~ Khối 4 …). + Theo như cỏch ghộp trờn thỡ ta chia hỡnh chữ nhật 2010x2008 thành 502 khối, mỗi khối gồm 4 cột. Ở khối 1 và khối 502 ta cần dựng 3 hỡnh chữ nhật ủơn (tương ứng với cỏc khối 1 và 4 như trong vớ dụ trờn). Cỏc khối cũn lại ta dựng 2 hỡnh chữ nhật ủơn. Như vậy tổng cộng trong cỏch ghộp trờn ta dựng 500 x 2 + 2 x 3 = 1006 hỡnh chữ nhật ủơn. Xoay hỡnh chữ nhật 2010x2008 lại, ta ủược hỡnh chữ nhật 2008 x 2010.
Bõy giờ ta chứng minh phải cần ớt nhất 1006 hỡnh chữ nhật ủơn ủể phủ hỡnh chữ nhật 2008 x 2010. Xột một phộp phủ hợp lệ, gọi x, y, z, t lần lượt là số hỡnh chữ nhật 1 x 2, 2 x 1, 2 x 3, 3 x 2 sử dụng trong phộp phủ này. Tụ trắng cỏc hàng lẻ, tụ ủen càng hàng chẵn. Điền số i vào hàng thứ i. Ta cú
73 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Nhận xột 2. Xột trờn toàn bảng, hỡnh chữ nhật khuyết và hỡnh chữ nhật 2 x 1 cú số ụ trắng bằng số ụ ủen. Suy ra số hỡnh chữ nhật 1 x 2 ở cỏc hàng trắng = số hỡnh chữ nhật 1 x 2 ở cỏc hàng ủen = x/2. Như vậy x chẵn.
Nhận xột 3. Với mỗi hỡnh chữ nhật của phộp phủ, ta xột tổng cỏc số trong ụ ủen – tổng cỏc số trong ụ trắng. Khi ủú ủối với hỡnh chữ nhật 3 x 2 ủại lượng này = 0, với hỡnh chữ nhật 2 x 3 ủại lượng này bằng ± 2, với hỡnh chữ nhật 2 x 1 ủại lượng này bằng ± 1. Cuối cựng, tổng cỏc số trong hỡnh chữ nhật 1 x 2 là một số chẵn thuộc [2, 2.2008]. Do ủú ta cú bất ủẳng thức Tổng cỏc số ở ụ ủen – Tổng cỏc sốở ụ trắng = 1004.2010 ≤ (x/2)(2.2008-2) + y + 2z. 1004.2010 ≤ 2007x + y + 2z. (**) Đổi chỗ hàng và cột, ta ủược 1005.2008 ≤ 2009y + x + 2t (***) Cộng (**) với (***) rồi ủể ý (*), ta ủược 1005.2008 ≤ 2007x+2009y ≤ 2009(x+y) Suy ra x + y ≥ 1005.2008/2009 > 1004. Vỡ x, y chẵn nờn x + y ≥ 1006. Nhận xột.
1. Đõy là bài toỏn khú nhất của ngày thứ nhất và cũng là bài toỏn khú nhất của cả kỳ thi. Điểm mấu chốt của lời giải là tỡm ra cỏch phủ tối ưu và chứng minh tớnh tối ưu của nú. Việc tỡm ra cỏch phủ cho hỡnh chữ nhật 4 x 2n với 4 hỡnh chữ nhật ủơn là khụng khú nhưng rất dễ dẫn ủến ngộ nhận là với hỡnh chữ nhật 4m x 2n (2m < n) ta cú thể nhõn cỏch phủ trờn ủể thành cỏch phủ tối ưu sử dụng 4m hỡnh chữ nhật ủơn. Trong thực tế, cỏch phủ tối ưu sử dụng 1 hỡnh chữ nhật kộp ủể thay hai hỡnh chữ nhật ủơn cho cỏc khối kề nhau. 2. Sau khi ủó tỡm ủỳng cỏch phủ “tối ưu”, ta cần chứng minh tớnh tối ưu của nú. Một cỏch tiếp cận truyền thống là tụ màu. Tuy nhiờn, một vài phộp thử và sai cho thấy cỏch tụ màu ủen trắng hoặc A, B, C, D ủơn giản khụng giải quyết ủược vấn ủề và ta phải sử dụng ủến những mối liờn hệ sõu sắc hơn giữa cỏc ụ và số húa cỏc mối liờn hệ này bằng cỏch ủưa trọng số vào.
3. Cú ý kiến cho rằng bài số 3 giống với một bài toỏn thi chọn ủội tuyển Việt Nam năm 1993. Tuy nhiờn, nếu xem xột kỹ lời giải thỡ sự giống nhau chỉ là hỡnh thức. Bài 3 năm nay khú hơn rất nhiều so với bài 1 năm 1993.
(VTST 1993, Bài 1) Gọi hỡnh chữ nhật kớch thước 2 x 3 (hoặc 3 x 2) bị cắt bỏ một hỡnh vuụng 1 x 1 ở một gúc là hỡnh chữ nhật khuyết ủơn. Gọi hỡnh chữ nhật kớch thước 2 x 3 (hoặc 3 x 2) bị cắt bỏ hỡnh vuụng 1 x 1 ở hai gúc ủối diện là hỡnh chữ nhật khuyết kộp. Người ta ghộp một số hỡnh vuụng 2 x 2, một số hỡnh chữ nhật khuyết ủơn và một số hỡnh chữ nhật khuyết kộp với nhau, sao cho khụng cú hai hỡnh nào chờm lờn nhau, ủể tạo thành một hỡnh chữ nhật kớch thước 1993 x 2000. Gọi s là tổng số cỏc hỡnh vuụng 2 x 2
74 | Trần Nam Dũng – 6/2010
và hỡnh chữ nhật khuyết kộp cần dựng trong mỗi cỏch ghộp hỡnh núi trờn. Tỡm giỏ trị lớn nhất của s.
Lời giải bài toỏn trờn khỏ ủơn giản (khụng phải ngẫu nhiờn bài này ủược ủặt ở vị trớ bài số 1 của kỳ thi): Tụ màu cỏc hàng xen kẽ ủen trắng thỡ sẽ cú 997 hàng ủen và 996 hàng trắng, suy ra số ụ ủen nhiều hơn số ụ trắng là 2000. Mỗi một hỡnh vuụng 2 x 2 và mỗi một hỡnh chữ nhật khuyết kộp luụn cú ủỳng 2 ụ trắng, 2 ụ ủen, cũn mỗi một hỡnh chữ nhật khuyến ủơn cú số ụ ủen – trừ số ụ trắng = 1 hoặc -1. Vỡ vậy nếu gọi x, y, z lần lượt là số hỡnh vuụng 2 x 2, số hỡnh chữ nhật khuyết kộp, số hỡnh chữ nhật khuyết ủơn thỡ ta lần lượt cú: 1) 4x + 4y + 5z = 1993 x 2000 (số ụ) 2) 2000 ≤ z (số ụ ủen – số ụ trắng) Từủõy suy ra 4x + 4y ≤ 1988 x 2000 Suy ra s = x + y ≤ 994000. Phộp phủ tối ưu cú thể xõy dựng dễ dàng nhờ cấu hỡnh cơ bản sau: Bài 4. Áp dụng bất ủẳng thức AM-GM, ta cú suy ra
Cộng bất ủẳng thức này với hai bất ủẳng thức tương tự, ta suy ra
Hơn nữa, ta lại cú
75 | Trần Nam Dũng – 6/2010
(1)
Bõy giờ, sử dụng bất ủẳng thức cơ bản ta suy ra
tức
(2)
Kết hợp (1) và (2), ta cú ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Nhận xột.
• Đỏnh giỏ là khỏ cơ bản và tự nhiờn, ủồng thời cũng là bước mấu chốt ủểủơn giản húa bất ủẳng thức.