Định lý Sperner (1927) khẳng ủịnh rằng kớch thước lớn nhất của họ cỏc tập con của N là một ủối xớch ủối với quan hệ bao hàm là hệ số nhị thức . Lubell tỡm ủược một phộp chứng minh ủơn giản và ủẹp cho ủịnh lý Sperner:
Gọi là một ủối xớch như vậy và giả sử rằng nú cú tập hợp k phần tử. Ta tớnh cỏc cặp trong ủú = là một hoỏn vị của {1,2, … ,n} và S là tập hợp thuộc họ cú khởi ủầu là , cụ thể là S={ } với k nào ủú. Với mỗi hoỏn vị ta tỡm ủược nhiều nhất một khởi ủầu S trong họ (do ủiều kiện ủối xớch). Nếu S là một tập hợp k phần tử, ta cú thể tỡm ủược ủỳng k! (n-k)! hoỏn vị với S là khởi ủầu. Kết
hợp hai sự kiện này, ta cú hay núi cỏch khỏc .
Bất ủẳng thức này (ủược gọi là bất ủẳng thức LYM) suy ra kết quả cần chứng minh.
Bella Bollobas, một trong những người ủó phỏt hiện ra bất ủẳng thức LYM. Định lý Erdửs-Ko-Rado cú một phộp chứng minh tương tự với chứng minh trờn.
í tưởng là tớnh cỏch cặp trong ủú là một tập hợp trong họ, là hoỏn vị vũng quanh và là một “khoảng” liờn tục ủối với .
Một mặt ta cú (n-1)! hoỏn vị vũng quanh và dễ dàng thấy rằng với mỗi một hoỏn vị như
vậy, ta cú thể chọn ủược nhiều nhất k “khoảng” ủụi một giao nhau. Mặt khỏc, với mỗi tập hợp S cú k!(n-k)! hoỏn vị vũng quanh mà trong ủú S là một khoảng liờn tục.
Như vậy k! (n-k)! và ủiều này cho chỳng ta ủịnh lý Erdửs Ko Rado.
Quay trở lại một chỳt về cõu “dễ dàng nhận thấy”. Phần này sử dụng ủiều kiện . Một cỏch lý luận cho phần này như sau: xột khoảng J mà phần tử tận cựng bờn trỏi là nằm ở bờn trỏi nhất và chỳ ý rằng cú k khoảng giao với J mà phần tử tận cựng bờn trỏi nằm
67 | Trần Nam Dũng – 6/2010
bờn phải z. Một cỏch khỏc là xột một khoảng J bào ủú cú ủộ dài k và chỳ ý rằng 2k-2 khoảng cú giao với khoảng này ủược chia thành k-1 cặp mà mỗi cặp chứa hai khoảng khụng giao nhau.