Một tập hợp hữu hạn cỏc số thực luụn cú phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. Một tập con bất kỳ của N (hoặc Nk) luụn cú phần tử nhỏ nhất. Nguyờn lý ủơn giản này trong nhiều trường hợp rất cú ớch cho việc chứng minh. Hóy xột trường hợp biờn! Đú là khẩu quyết của nguyờn lý này.
Một số vớ dụ mởủầu
Ta xem xột một số vớ dụ sử dụng nguyờn lý cực hạn
Vớ dụ 1. Có 3 tr−ờng học, mỗi tr−ờng có n học sinh. Mỗi một học sinh quen với ít nhất n+1 học sinh từ hai tr−ờng khác. Chứng minh rằng ng−ời ta có thể chọn ra từ mỗi tr−ờng một bạn sao cho ba học sinh đ−ợc chọn đôi một quen nhau.
Giải.
Gọi A là học sinh có nhiều bạn nhất ở một tr−ờng khác. Gọi số này là k. Giả sử A ở tr−ờng 1 và những bạn quen A là B1, B2, ..., Bk ở tr−ờng 2. Ta có . 2 1 + ≥ n k Cũng theo giả thiết, có ít nhất 1 học sinh C ở tr−ờng 3 quen với A. Giả sử C không quen với Bi với mọi i=1, 2, ..., k thì C quen với nhiều nhất n - k học sinh của tr−ờng 2. Suy ra C quen với ít nhất n+1 - (n-k) = k+1 học sinh ở tr−ờng 1, điều này mâu thuẫn với cách chọn A. Vậy C phải quen với một Bi nào đó. Khi đó A, Bi và C chính là 3 học sinh cần tìm.
36 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Vớ dụ 2. Chứng minh rằng khụng tồn tại số n lẻ, n > 1 sao cho 15n + 1 chia hết cho n Giải. Giả sử tồn tại một số nguyờn lẻ n > 1 sao cho 15n + 1 chia hết cho n. Gọi p là ước số nguyờn tố nhỏ nhất của n, khi ủú p lẻ. Giả sử k là số nguyờn dương nhỏ nhất sao cho 15k – 1 chia hết cho p.
Vỡ 152n – 1 = (15n-1)(15n+1) chia hết cho p. Mặt khỏc, theo ủịnh lý nhỏ Fermat thỡ 15p-1 – 1 chia hết cho p. Theo ủịnh nghĩa của p, suy ra k là ước số của cỏc số p-1 và 2n. Suy ra k | (p-1, 2n). Do p là ước số nguyờn tố nhỏ nhất của n nờn (n, p-1) = 1. Suy ra (p-1, 2n) = 2. Vậy k | 2. Từủú k = 1 hoặc k = 2. Cả hai trường hợp này ủều dẫn tới p = 7. Nhưng ủiều này mõu thuẫn vỡ 15n + 1 luụn ủồng dư 2 mod 7
Bài tập
1. Cho n ủiểm xanh và n ủiểm ủỏ trờn mặt phẳng, trong ủú khụng cú 3 ủiểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta cú thể nối 2n ủiểm này bằng n ủoạn thẳng cú ủầu mỳt khỏc màu sao cho chỳng ủụi một khụng giao nhau.