31 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Nguyờn lý Dirichlet trong hỡnh học
Trong hỡnh học, nguyờn lý Dirichlet thường ủược sử dụng trong cỏc bài toỏn liờn quan ủến ủộ dài cạnh, diện tớch, ủộ lớn của gúc, cỏc bài toỏn trờn lưới nguyờn. Ởủõy chỳng tụi chỉ giới hạn trong việc giới thiệu một ứng dụng ủẹp của nguyờn lý Dirichlet về “chồng hỡnh” trong hỡnh học và một số bài tập.
Định lý Minkowsky là một vớ dụ rất thỳ vị về ứng dụng của hỡnh học trong lý thuyết số. Chỳng ta bắt ủầu từ một kết quả rất ủơn giản nhưng hữu ớch
Bổủề 1. Trờn mặt phẳng cho hỡnh F cú diện tớch lớn hơn 1. Khi ủú tồn tại hai ủiểm A, B thuộc F, sao cho vộc tơ AB cú tọa ủộ nguyờn.
Chứng minh: Lưới nguyờn cắt hỡnh G thành cỏc mẩu nhỏ. Chồng cỏc mẩu này lờn nhau, do tổng diện tớch của cỏc mẩu lớn hơn 1, nờn cú ớt nhất 2 mẩu cú ủiểm chung (ủõy chớnh là một biến thể của nguyờn lý Dirichlet). Gọi A, B là hai ủiểm nguyờn thuỷ ứng với ủiểm chung này thỡ A, B là hai ủiểm cần tỡm.
Bổủề 2. (Bổủề Minkowsky) Trờn mặt phẳng cho hỡnh lồi F nhận gốc tọa ủộ làm tõm ủối xứng và cú diện tớch lớn hơn 4. Khi ủú nú chứa một ủiểm nguyờn khỏc gốc tọa ủộ.
Chứng minh: Xột phộp vị tự tõm O, tỷ số 1/2 , biến F thành G. Do G cú diện tớch lớn hơn 1 nờn theo bổ ủề 1, tồn tại hai ủiểm A, B thuộc G sao cho vộc-tơ AB cú toạ ủộ nguyờn. Gọi A’ là ủiểm ủối xứng với A qua O. Do hỡnh G ủối xứng qua gốc toạ ủộ nờn A’ thuộc G. Do G lồi nờn trung ủiểm M của A’B thuộc G. Gọi N là ủiểm ủối xứng của O qua M thỡ N thuộc F và ON = AB, suy ra N là ủiểm nguyờn khỏc O (ủpcm).
Định lý 3. (Định lý Minkowsky) Cho a, b, c là cỏc số nguyờn, trong ủú a > 0 và ac - b2 = 1. Khi ủú phương trỡnh ax2 + 2bxy + cy2 = 1 cú nghiệm nguyờn.
Bài tập
15. Với giỏ trị nào của n tồn tại n ủiểm M1, M2, …, Mn sao cho tất cả cỏc gúc MiMjMkủều khụng tự?