6. Bố cục của luận án
3.1 Nội dung và phương pháp quy hoạch thực nghiệm
3.1.1 Nội dung cơ bản của thiết kế thực nghiệm
3.1.1.1 Thiết kế thực nghiệm
Từ những năm 1920, Ronald Fisher đã đề xuất các phương pháp thiết kế thực nghiệm (DOE- Design of Experiment) nhằm nghiên cứu sự ảnh hưởng đồng thời của các nhân tố khác nhau. Lý thuyết về thiết kế thực nghiệm từ đó đã được phát triển và trở thành một ngành khoa học độc lập. Ở Việt Nam, xây dựng kế hoạch thực nghiệm hay quy hoạch thực nghiệm, được giải thích như là một tập hợp có hệ thống chi tiết các bước tiến hành thí nghiệm
Thiết kế thực nghiệm được sử dụng như một công cụ hữu ích nhằm khảo sát bất kỳ một ứng xử nào (Response) của một hệ thống, một quá trình hay một đối tượng nào. Sự thay đổi của ứng xử được coi như một hàm của một hay nhiều thông số khác – được gọi là các biến thí nghiệm.
Một kế hoạch thí nghiệm được thiết kế tốt sẽ cho phép nhà nghiên cứu tiến hành số lượng thí nghiệm ít nhất, tốn kém ít chi phí, mất thời gian công sức ít nhất nhưng lại thu được nhiều thông tin nhất về quá trình, đối tượng nghiên cứu [87].
3.1.1.2 Nội dung quy hoạch và xử lý số liệu thực nghiệm
Khi nghiên cứu mối quan hệ phụ thuộc vào các yếu tố với nhau thường chưa biết, chưa rõ luật hoạt động của các mối quan hệ bên trong giữa các yếu tố. Thí dụ như mòn chi tiết máy do nhiều yếu tố tác động lên bề mặt chi tiết, nhưng không rõ các yếu tố đó đã biến đổi cơ, lý, hóa trên bề mặt kim loại như thế nào? Ta chỉ cần biết với các yếu tố làm việc nhất định, ta quan trắc đo đạc được lượng mòn chi tiết [88].
61
Hình 3.1. Sơ đồ mô tả mối quan hệ yếu tố đầu vào, đầu ra và biến ngẫu nhiên[88]
Trong hình 3.1 xi là các thông số vào, thông số điều khiển được hay còn gọi là thông số điều khiển; yilà các thông số đầu ra, là biến bị điều khiển.
Trường hợp có nhiều thông số ra, có thể xét vectơ biến ra y = (y1,y2,...,yn).
Nhưng cũng có thể xét riêng sự phụ thuộc từng thành phần sau đó tổng hợp lại.
- là biến ngẫu nhiên (do tác động ngẫu nhiên), biến không điều khiển được. Thường giả thiết chúng có phương sai:
D() = 2 và kỳ vọng E() = 0 tức là chúng có phân phối = N(0, 2 )
Với một bộ n thí nghiệm và có k thông số vào thì ma trận các thông số vào X có thể viết như sau:
𝑋 = (𝑥𝑖𝑗)𝑛,𝑘 = [ 𝑥11 𝑥12 𝑥1𝑘 𝑥21 𝑥22 𝑥2𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 𝑥𝑛𝑘 ] (3.1)
Khi mô tả mối quan hệ giữa biến vào và biến ra dưới ảnh hưởng của biến ngẫu nhiên, có thể dự đoán hàm số mô tả mối quan hệ đó là một trong các hàm số hay gặp hoặc tổ hợp một vài hàm số có dạng đã biết.
{𝑦 = 𝜑(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘) + 𝜉
𝑦 = 𝜑(𝑥) + 𝜉 (3.2)
Mỗi lần thực hiện một thí nghiệm, tức là tác động một lần các thông số vào
xik; có kết quả đầu ra sao cho:
𝑦 = 𝜑(𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑘) + 𝜉 (3.3) Với giả thiết = N(0, 2) sau khi loại trừ ảnh hưởng nhiễu ta nhận được mô hình thống kế của hệ
Nếu mô hình thống kê chứa yếu tố thời gian là mô hình động, không chứa thời gian là mô hình tĩnh.
Nếu mô hình chỉ áp dụng cho giới hạn nhất định của biến xi gọi là mô hình địa phương.
62
Với mô hình địa phương, có thể khai triển Taylor đối với hàm (x1…xk) 𝜑(𝑥1… 𝑥𝑘) = 𝑎0+ ∑ 𝑎𝑘𝑗 𝑗𝑥𝑗 + ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 + ⋯ với 1 i j k (3.4)
Dựa vào các kết quả thực nghiệm xác định các giá trị ai, aịj … được coi là nhận dạng mô hình thống kê đó. Phương trình nhận được, gọi là phương trình hồi quy thực nghiệm của hệ thống tương ứng với bộ thí nghiệm đã cho. Ký hiệu là:
𝜑̂(𝑥1… 𝑥𝑘) = ∑𝑚𝑗=1𝑎𝑗𝑓𝑗(𝑥1…𝑥𝑘) (3.5) Phương trình hồi quy thực nghiệm phụ thuộc vào bộ n thí nghiệm, phương pháp nhận dạng mô hình thống kê. Như vậy cẩn phải có chiến lược tác động vào các yếu tố đầu vào, xây dựng bộ n thí nghiệm, sao cho mô hình thu được: độ tin cậy đặt ra, đủ thông tin cần thiết, thuận tiện xử lý thông tin, tìm cực trị, dễ dàng sử dụng các công cụ tính toán hiện có.
3.1.2 Phương pháp quy hoạch thực nghiệm
Có nhiều phương pháp để thiết lập các điều kiện và tiến hành các thí nghiệm cho bộ 3 thông số, mỗi thông số 3 mức độ như phương pháp quy hoạch trực giao cấp 1, cấp 2 hay phương pháp thiết kế thực nghiệm Taguchi. Trong nghiên cứu này sử dụng một số phương pháp quy hoạch thực nghiệm như: Phương pháp quy hoạch thực nghiệm trực giao, phương pháp Taguchi, phương pháp quy hoạch thực nghiệm Box- Behnken.
3.1.2.1 Quy hoạch thực nghiệm trực giao tuyến tính
Theo nguyên tắc tuần tự của quy hoạch thực nghiệm, các thực nghiệm được tiến hành để nhận mô hình hồi quy từ đơn giản (tuyến tính) đến phức tạp (phi tuyến), tuỳ theo thông tin ban đầu. Nếu không có các thông tin sơ bộ khẳng định tính phi tuyến của mô hình toán thực nghiệm, thì nên bắt đầu nghiên cứu đối tượng bằng quy hoạch tuyến tính.
Quy hoạch trực giao tuyến tính (cấp I) gồm các bước: Bước 1. Xác định miền biến thiên
𝑍𝑗𝑚𝑖𝑛 < 𝑍𝑗 < 𝑍𝑗𝑚𝑎𝑥 (3.6)
Và tâm quy hoạch: 𝑍𝑗𝑚𝑖𝑛 < 𝑍𝑗0 < 𝑍𝑗𝑚𝑎𝑥
Bước 2. Chọn dạng phương trình hồi quy sau khi đã mã hóa: Phương trình hồi qui tuyến tính có dạng:
63 Trong đó: y hàm mục tiêu
𝑥𝑖 Các yếu tố ảnh hưởng ở dạng tự nhiên có thứ nguyên Hoặc dạng tổng quát có kể đến tương tác giữa các yếu tố:
𝑦 = 𝑏0+ 𝑏1𝑥1+ 𝑏2𝑥2+ ⋯ + 𝑏12𝑥1𝑥2+ ⋯ + 𝑏𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 + 𝑏(𝑘−1)𝑘𝑥𝑘 (3.8) Với: 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑘
Bước 3.Thực hiện N thử nghiệm N = 2k với k là số biến thí nghiệm.
Tính toán xác định các hệ số hồi quy bj bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. Bước 4. Kiểm định sự có nghĩa của các hệ số hồi quy bj với chuẩn Student. Thực hiện các thử nghiệm tại tâm quy hoạch hoặc sử dụng các thử nghiệm song song, lặp lại. Loại bỏ các bj không có nghĩa, tính toán lại các bj và kiểm định lại cho tới khi chỉ còn các bj có nghĩa.
Bước 5.Kiểm định sự có nghĩa của phương trình hồi quy với chuẩn Fisher - Đánh giá tính tương thích của mô hình.
- Kiểm tra mức ý nghĩa của các hệ số hồi quy
Nếu mô hình thoả mãn các yêu cầu trong phép kiểm tra trên, sẽ dùng để phân tích các tính chất cần thiết của đối tượng, mức độ, đặc điểm ảnh hưởng của các yếu tố,…
Nếu mô hình không tương thích, cần tìm hiểu nguyên nhân. Nếu nguyên nhân là tính phi tuyến của các mặt chỉ tiêu, làm các thí nghiệm bổ sung để nâng mô hình lên bậc cao hơn.
3.1.2.2 Quy hoạch thực nghiệm trực giao cấp II
Phương pháp quy hoạch thực nghiệm trực giao cấp II là phương pháp thiết kế thử nghiệm nhằm thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố đầu ra phụ thuộc hàm bậc hai đối với các yếu tố đầu vào.
Quy hoạch trực giao gồm các bước như sau: Bước 1: Xác định miền biến thiên
𝑍𝑗𝑚𝑖𝑛 < 𝑍𝑗 < 𝑍𝑗𝑚𝑎𝑥 (3.9) Và tâm quy hoạch:
𝑍𝑗0 =𝑍𝑗
𝑚𝑖𝑛+ 𝑍𝑗𝑚𝑎𝑥 2
64
𝑦 = 𝑏0+ 𝑏1𝑥1+ 𝑏2𝑥2+ ⋯ + 𝑏𝑘𝑥𝑘+ 𝑏12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 𝑏11𝑥12+ ⋯ + 𝑏𝑘𝑘𝑥𝑘2
(3.10)
Bước 3: Thực hiện N thử nghiệm
N = 2k + 2k +n0
Bước 4: Tính toán xác định các hệ số hồi quy bj . Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất
Bước 5:Kiểm định sự có nghĩa của các hệ số hồi quy bj
Áp dụng tiêu chuẩn Student bằng cách thực hiện các thử nghiệm tại tâm quy hoạch hoặc sử dụng các thử nghiệm song song loại bỏ các bjkhông có nghĩa, tính toán lại các bjvà kiểm định lại cho tới khi chỉ còn các bjcó nghĩa.
Bước 6:Kiểm định sự có nghĩa của phương trình hồi quy với chuẩn Fisher
3.1.2.3 Phương pháp Taguchi
Thiết kế thực nghiệm theo tiếp cận của Taguchi được chuẩn hóa từ kỹ thuật thiết kế thực nghiệm cổ điển. Tiến sĩ Taguchi tên đầy đủ là Genichi Taguchi là một nhà nghiên cứu tại phòng thí nghiệm Electronic Control ở Nhật. Năm 1940, ông đã tập trung nghiên cứu cải thiện chất lượng sản phẩn trên cơ sở đơn giản hóa và chuẩn hóa ứng dụng kỹ thuật DOE. Thành công của Taguchi được áp dụng trong lĩnh vực kỹ thuật của các công ty trên toàn thế giới, đặc biệt giới thiệu đến Mỹ và các nước phương Tây vào đầu những năm 1980 [87]
Một số ưu điểm nổi bật của phương pháp Taguchi: - Dễ ứng dụng và phân tích;
- Xác suất thành công cao;
- Có thể xác nhận dự báo cải thiện; - Yêu cầu số lượng thí nghiệm nhỏ; - Ảnh hưởng của nhiễu được xem xét.
Các bước thiết kế thực nghiệm theo phương pháp Taguchi: - Thiết lập mối quan hệ giữa các đối tượng nghiên cứu;
- Lựa chọn các thông số cần thiết để khảo sát; Xác định các thông số; - Lựa chọn các mức cho các thông số;
- Tính số bậc tự do cần thiết cho thiết kế thí nghiệm;
- Lựa chọn bảng tiêu chuẩn (OA - Orthogonal Arrays – Bảng quy hoạch trực giao);
65
- Gán các thông số và mức của nó vào các cột; - Tiến hành thí nghiệm;
- Phân tích kết quả;
- Kiểm chứng kết quả thí nghiệm.
3.1.2.4 Phương pháp thiết kế Box-Behnken
Khi cần mô tả chính xác quan hệ hàm mục tiêu và các thông số thí nghiệm, tiến hành kế hoạch thí nghiệm bề mặt chỉ tiêu (Response Surface Design). Mục đích của kế hoạch này là bổ sung thêm các điểm thí nghiệm nhằm có thể xây dựng mô hình bậc 2 mô tả hàm mục tiêu. Một trong những dạng thiết kế thí nghiệm bề mặt chỉ tiêu là phương pháp thiết kế Box-Bohnken.
Thiết kế Box-Bohnken được hai tác giả Box và Bohnken đề xuất năm 1960 với mục đích thiết kế các thí nghiệm 3 mức nhằm xây dựng bề mặt chỉ tiêu. Thiết kế Box-Behnken thường có tích chất tâm xoay hoặc gần như có tâm xoay (Hình 3.2)
Hình 3.2 Sơ đồ thí nghiệm Box-Behnken [88]
a) Sơ đồ thí nghiệm Box-Behnken 3 biến b) Sơ đồ thí nghiệm trung tâm – mặt 3 biến 3.1.2.5 Một số khái niệm
a) Tỷ số S/N
Sự thay đổi đặc tính chất lượng của sản phẩm nghiên cứu, để đáp ứng một thông số được giới thiệu trong thiết kế thực nghiệm là "signal – tín hiệu" của kết quả mong muốn. Tuy nhiên, khi tiến hành thí nghiệm, có những thông số ngoại lai tuy không được thiết kế trong thực nghiệm nhưng lại có ảnh hưởng đến kết quả đầu ra. Những thông số đó được gọi là những thông số nhiễu và ảnh hưởng của chúng tới kết quả đầu ra của tham số chất lượng trong thí nghiệm được gọi là "the noise – nhiễu". Tỷ số tín hiệu trên nhiễu (tỷ số S/N) đo độ nhạy và kiểm soát đặc tính chất lượng được điều tra với những yếu tố bên ngoài không được kiểm soát. Khái niệm về S/N có nguồn gốc trong lĩnh vực kỹ thuật điện. Taguchi đã áp dụng hiệu quả khái niệm này để thiết lập điều kiện tối ưu từ các thí nghiệm.
66
Mục tiêu của thực nghiệm là xác định tỷ số S/N cao nhất có thể cho chỉ tiêu đánh giá. Một giá trị S/N cao có nghĩa là tín hiệu cao hơn rất nhiều so với tác động ngẫu nhiên của các yếu tố nhiễu. Thiết kế sản phẩm hoặc quá trình hoạt động phù hợp với S/N cao nhất luôn mang lại chất lượng tối ưu với phương sai tối thiểu.
Từ quan điểm về chất lượng, có ba loại đặc tính chất lượng như sau [89]: - Thấp hơn tốt hơn;
- Giá trị tiêu chuẩn là tốt nhất; - Cao hơn tốt hơn;
Việc chuyển đổi một tập hợp các quan sát thành một số đơn lẻ, tỷ số S/N được thực hiện theo hai bước. Đầu tiên bình phương độ lệch (MSD) được tính toán. Sau đó tỷ số S/N được xác định từ MSD theo công thức:
𝑆/𝑁 = −10log (𝑀𝑆𝐷) (3.11)
- Nếu đặc tính chất lượng cao hơn tốt hơn, MSD được định nghĩa: 𝑀𝑆𝐷 = 1 𝑟∑(1 𝑦𝑖2) 𝑟 𝑖=1 (3.12)
- Nếu đặc tính chất lượng thấp hơn tốt hơn, MSD được định nghĩa: 𝑀𝑆𝐷 = 1
𝑟∑ 𝑦𝑖2 𝑟
𝑖=1
(3.13)
- Nếu đặc tính chất lượng giá trị tiêu chuẩn là tốt nhất, MSD được định nghĩa: 𝑀𝑆𝐷 = 1
𝑟∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑜)2 𝑟
𝑖=1
(3.14)
Trong đó: yi là tất cả các giá trị kiểm tra của các thí nghiệm
r là số lần kiểm tra trong mỗi thí nghiệm
yo là giá trị tiêu chuẩn hoặc giá trị mục tiêu b) Hệ số Fisher (F)
Tham số có giá trị F lớn hơn nghĩa là nó có mức độ ảnh hưởng lớn hơn đến chỉ tiêu đánh giá. Hệ số Fisher được xác định theo công thức:
𝐹 = 𝑀𝑆đ𝑘
𝑀𝑆𝑙đ𝑘 (3.15)
67 c) Phân tích phương sai
- Tổng bình phương (SS- Sum of Square): Đo độ lệch của dữ liệu thí nghiệm từ trị số trung bình của dữ liệu
𝑆𝑆𝑇 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑇)2 𝑁
𝑖=1
(3.16)
Trong đó: N là số lượng giá trị được kiểm tra, 𝑇 là giá trị trung bình các kết quả kiểm tra yi của đối tượng thứ i
- Tổng bình của hệ số S (SSA) 𝑆𝑆𝐴 = ∑(𝐴𝑖 2 𝑛𝐴𝑖) 2−𝑇 2 𝑁 𝑁𝑘 𝑖=1 (3.17)
Trong đó: Ai là giá trị tại mức i của thí nghiệm
T là tổng các giá trị kiểm tra
nAi là số kết quả khảo sát ở điều kiện Ai
- Tổng bình phương các lỗi (SSe) là phân bố bình phương các giá trị khảo sát từ giá trị trung bình của trạng thái A
𝑆𝑆𝑒 = ∑ ∑(𝑦𝑖− 𝐴𝑗)2 𝑛𝐴𝑖 𝑖=1 𝑘𝐴 𝑗=1 (3.18)
- Phần trăm phân bố sự ảnh hưởng của thông số A
𝑃(%) = 𝑆𝑆𝐴
𝑆𝑆𝑇𝑥100% (3.19)
3.1.3 Tối ưu hóa mục tiêu
Các bài toán tối ưu thường có mục tiêu là một trong ba loại sau đây: - Tối thiểu hóa (Minimization): hàm mục tiêu càng nhỏ càng tốt; - Tối đa hóa (Maximization): hàm mục tiêu càng lớn càng tốt; - Hạn mức (Target): hàm mục tiêu đạt được một giá trị nào đó.
Hàm kỳ vọng
Hàm kỳ vọng (desirability function) dùng để đánh giá mức độ đạt được của một hàm mục tiêu so với giá trị mong muốn. Hàm kỳ vọng của một chỉ tiêu nhận giá trị từ 0 đến 1. Về bản chất, giá trị của hàm kỳ vọng chính là giá trị chuyển đổi của hàm chỉ tiêu sang dạng thức phù hợp để tính toán. Người ta định nghĩa hàm kỳ vọng
68
di của một mục tiêu thứ i thông qua các biểu thức toán học như dưới đây. a) Khi hàm mục tiêu yi là tối đa hóa [87].
𝑑𝑖 = { 0 𝑘ℎ𝑖 𝑦𝑖 ≤ 𝐿𝑖 (𝑦𝑖 − 𝐿𝑖 𝑇𝑖− 𝐿𝑖) 𝑤𝑖 𝑘ℎ𝑖 𝐿𝑖 < 𝑦𝑖 < 𝑇𝑖 1 𝑘ℎ𝑖 𝑦𝑖 ≥ 𝑇𝑖 (3.20)
Trong đó, giá trị Li là mức giá trị giới hạn vùng chấp thuận được, còn Ti là giá trị mong muốn của hàm mục tiêu yi. wi là trọng số của hàm mục tiêu đó. Nếu wi =1 có nghĩa là nếu hàm mục tiêu càng gần giá trị mong muốn bao nhiêu thì mức độ “kỳ vọng” càng lớn bấy nhiêu (tỷ lệ bậc nhất).
Hình 3.3 Hàm kỳ vọng của bài toán tối đa hóa có trọng số bằng 1[88]
Sơ đồ hàm kỳ vọng cho bài toán tối đa hóa có trọng số được minh họa trên hình 3.3. Trên hình vẽ, ta có thể thấy rõ ý nghĩa của hàm kỳ vọng tương quan với giá trị có thể nhận được của hàm mục tiêu. Hàm mục tiêu càng lớn và tiến sát đến giá trị mong muốn thì mức độ kỳ vọng đạt được càng cao. Khi đã đạt được bằng hoặc cao hơn giá trị mong muốn, mức độ kỳ vọng bằng 1.
b) Khi hàm mục tiêu yi là tối thiểu hóa [87].
𝑑𝑖 = { 0 𝑘ℎ𝑖 𝑦𝑖 ≤ 𝑇𝑖 (𝑈𝑖 − 𝑦𝑖 𝑈𝑖 − 𝑇𝑖) 𝑤𝑖 𝑘ℎ𝑖 𝑇𝑖 < 𝑦𝑖 < 𝑈𝑖 1 𝑘ℎ𝑖 𝑦𝑖 ≥ 𝑈𝑖 (3.21)
Trong đó, Ui là mức giới hạn trên của vùng chấp thuận được khi tối thiểu hóa. Hình 3.4 minh họa sơ đồ hàm kỳ vọng cho bài toán tối thiểu hóa có wi =1.