Để mô tả dòng chảy của chất lỏng hoặc chất khí trong tựnhiên, các phương
trình đã được xây dựng nhằm mô hình hóa các loại dòng chảy. Các phương trình đó bao gồm phương trình bảo toàn khối lượng, phương trình bảo toàn động lượng
(hay phương trình Navier-Stokes) và phương trình bảo toàn năng lượng [6]:
𝜕𝜌
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣𝜌𝑉⃗ = 0 PT 2.7
𝐷(𝜌𝑉⃗ )
𝐷𝑡 = ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡
PT 2.8
Với hai phương trình liên tục và Navier-Stokes, sau khi khai triển cho dòng
không nén được, ta thu về một hệphương trình gồm 4 phương trình và 6 ẩn, trong
đó có 3 ẩn là thành phần vận tốc theo 3 phương, 3 ẩn là thành phần áp suất theo 3
phương.
Như vậy, sốẩn cần giải thực tế nhiều hơn sốphương trình, tức là hệphương
trình không thể giải được. Do đó, để khép kín hệ phương trình cần đưa thêm các
mô hình tính toán để khép kín hệ phương trình. Hiện nay, sau khi được mô hình hóa, bài toán sẽđược giải dựa trên sự hỗ trợ của máy tính và các phần mềm đểđưa
ra lời giải. Độ chính xác của phương pháp mô phỏng là khác nhau. Các phương
pháp mô phỏng chính được xây dựng và sử dụng trong tính toán hiện nay gồm có: - DNS (Direct Numerical Simulation): Giải hệphương trình NavierStockes
trực tiếp không thông qua mô hình rối nào. Đòi hỏi tài nguyên máy tính và thời gian giải rất lớn. Phương pháp này cho lời giải chính xác nhất;
- LES (Large Eddy Simulation): Giải phương trình Navier-Stockes có chọn lọc, chỉ giải trực tiếp các rối lớn (large eddy). Phương pháp đòi hỏi nhiều tài nguyên
máy tính để giải nhưng không nhiều như DNS;
- RANS (Reynold Averaged Navier-Stockes Simulation): Giải trung bình thời gian hệ phương trình Navier Stockes. Tất cả các rối đều được mô hình hóa. Là phương pháp phổ biến để giải các dòng chảy công nghiệp và nghiên cứu cơ học
lưu chất. Không đòi hỏi cao về tài nguyên và thời gian tính toán.
24
Nhìn chung, các mô hình rối RANS hiện nay đang được ưa chuộng sử dụng
hơn các mô hình còn lại nhờđộ sai số thấp và đặc biệt là tiết kiệm được tài nguyên máy tính. Các mô hình rối RANS được xây dựng dựa trên phương pháp trung bình
hóa thời gian hệphương trình Navier-Stoke. Cơ sở của phương pháp này là phân tích các đại lượng thành hai thành phần trung bình và mạch động. Hệphương trình được biến đổi vềphương trình trung bình. Ẩn cần tìm là các đại lượng trung bình 20 theo thời gian. Các phương trình liên tục và Navier-Stoke được viết dưới dạng
trung bình hóa như sau:
𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤̅ 𝜕𝑧 = 0 PT 2.9 𝜌𝐷𝑢̅ 𝐷𝑡 = 𝐹𝑖− 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥𝑖 + 𝑣∆𝑢̅ − 𝜌(𝑖 𝜕𝑢̅̅̅̅̅𝑖,𝑢𝑗, 𝜕𝑥𝑗 ) PT 2.10
Trong đó, đại lượng ứng suất Reynold chỉ xuất hiện trong hệphương trình
RANS. Rõ ràng, với sự xuất hiện của ứng suất Reynold, hệphương trình đã xuất hiện thêm các ẩn 𝑢𝑖′,𝑢𝑗′. Do đó, để khép kín hệphương trình cần phải xấp xỉ ứng suất Reynold theo các ẩn vận tốc trung bình. Một trong những phương pháp khép
kín hệphương trình là sử dụng giả thuyết Boussinesq. Phương pháp này mô hình
hóa ứng suất Reynold bằng cách sử dụng đại lượng nhớt rối 𝜇𝑇.
𝑅𝑖𝑗 = −𝜌𝑢̅̅̅̅̅ = 𝜇𝑖,𝑢𝑗, 𝑇(𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗 + 𝜕𝑢̅𝑗 𝜕𝑥𝑖) − 2 3𝜇𝑇 𝜕𝑢̅̅̅𝑘 𝜕𝑥𝑘𝛿𝑖𝑗 − 2 3𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗 PT 2.11
Như vậy, khi thực hiện việc trung bình hóa, các đại lượng trong hệphương trình được chuyển thành các đại lượng trung bình, đồng thời xuất hiện thêm một
ứng suất mới được gọi là ứng suất Reynold. Ứng suất Reynold xuất hiện làm tăng
thêm ẩn cho hệ. Để giải quyết ứng suất này, người ta đưa vào các mô rối để mô hình hóa ứng suất Reynold. Sau đó có thể sử dụng mô phỏng sốđể giải bằng máy tính.
Một phương trình Hai phương trình Bảy phương trình
Spalart-Allmaras Standard K-epsilon RNG k-epsilon Realizable k-epsilon Standard k-omega SST k-omega
25