Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông tin về nghiệm chính xác x0, Tikhonov A. N. đã đưa ra một khái niệm mới.
Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào.
Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ: ρY(fδ, f) ≤ δ → 0. Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.10). Rõ ràng là ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y, thứ hai là A−1 không liên tục, nên nếu A−1fδ tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1f.
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.10). Vì vậy một điều tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm x0. Ta cũng thấy nếu được thì từ fδ ∈ Y ta có phần từ xấp xỉ thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X.
Định nghĩa 1.19 Toán tử R(f, α) phụ thuộc tham số α tác động từ Y
vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.10) nếu:
i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈(0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY(fδ, f)≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α =α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, ∃δ(ε) ≤
δ1 để với mọi fδ ∈Y thỏa mãn ρY(fδ, f)≤ δ ≤ δ1 thì ρX(xα, x0) ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm chính xác của (1.10) và xα ∈R(fδ, α(fδ, δ)). Phần tử xα gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.10) vàα = α(fδ, δ)
gọi là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu.
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và được sử dụng nhiều cho việc nghiên cứu và giải các bài toán đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học.
Chú ý 1.9 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau:
Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh, nếu:
i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY(f, f0) ≤ δ;
ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ ρY(fδ, f0) ≤
δ ≤ δ0 ta có ρX(xδ, x0)≤ ε, ở đây xδ ∈R(fδ, δ).
Chú ý 1.10 Toán tử hiệu chỉnh R(f, δ) có thể là một ánh xạ đa trị. Tiếp theo, chúng tôi trình bày sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho việc giải phương trình
A(x) =f, (1.11)
với A : E −→ E∗ là một toán tử đơn điệu, h−liên tục từ không gian Banach phản xạ E có tính chất Kadec-Klee vào không gian đối ngẫu E∗
của nó, với giả thiết tập nghiệm S0 khác rỗng.
Chú ý 1.11 i) Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu với mọi dãy {xn} ⊂ mà xn * x và kxnk −→ kxk ta đều có xn −→ x. Mọi không gian Banach lồi đều, đều có tính chất Kadec-Klee.
ii) Toán tử A : E −→ E∗ được gọi là h−liên tục tại điểm x ∈ E nếu
A(x+th) * A(x), khi t → 0 và A được gọi là h−liên tục trên E nếu nó
h−liên tục tại mọi x ∈ E. Dễ thấy rằng nếu A là một toán tử liên tục, thì
A là một toán tử h−liên tục, tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder F. E. [20] đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân là sử dụng một toán tử
M : E −→ E∗ có tính chất h−liên tục, đơn điệu mạnh, ánh xạ một tập bị chặn trong E thành một tập bị chặn trong E∗ và thỏa mãn điều kiện bức, tức là hM(u), ui
kuk → +∞, khi kuk → +∞ làm thành phần hiệu
chỉnh (trong không gian Banach E, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j có đầy đủ các tính chất trên). Cụ thể, cho E là một không gian Banach phản xạ, T : D(T) ⊂ E −→ E∗ là một toán tử phi tuyến đơn điệu và cho
f : E −→ (−∞,+∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈E∗, xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau: Xác định phần tử u0 ∈ D(T) sao cho
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (1.12) làAω. Thay vì việc giải bất đẳng thức biến phân (1.12), Browder F. E. đã xét bất đẳng thức biến phân
hTε(uε)−ωε, v −uεi ≥ f(uε)−f(v) với mọi v ∈ D(T), (1.13) trong đó ε > 0 và Tε = T +εM. Browder F. E. đã chỉ ra nghiệm uε của bất đẳng thức biến phân (1.13) ứng với ωε = ω+εv0 hội tụ mạnh về phần tử u0 ∈Aω thỏa mãn bất đẳng thức
hM(u0)−v0, v−u0i ≥ 0 với mọi v ∈ Aω,
khi ε→ 0.
Trên tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh của Browder, Alber Y. [8] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (1.11) thông qua việc giải phương trình
A(x) +αj(x−x0) = fδ, kfδ−fk ≤δ, (1.14) ở đây x0 là một phần tử bất kì trong E. Ta có kết quả sau:
Định lí 1.4 [8] Với mỗi α >0 và fδ ∈E∗, phương trình (1.14) có nghiệm duy nhất xδα. Nếu α, δ α −→0, thì xδα hội tụ đến một phần tử x∗ ∈ S0 thỏa mãn kx∗ −x0k = min x∈S0 kx−x0k.
Năm 2006, Buong Ng. [22] đã đề xuất thuật toán mới dựa trên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán cực trị đa mục tiêu sau trong không gian Banach phản xạ E: Xác định phần tử x0 ∈ E sao cho
ϕi(x0) = inf
x∈Eϕi(x), j = 0,1,2, ..., N, (1.15) trong đóϕi là các phiếm hàm lồi khả vi Gâteaux, với các đạo hàm Gâteaux tương ứng là Ai. Ông đã đã đưa ra thuật toán sau
N
X
i=0
αµiAhi(x) +αj(x) = θ, (1.16)
trong đó 0 = µ0 < µi < µi+1 < 1 với mọi i = 1,2, ..., N −1 và ông đã chỉ ra nếu tham số hiệu chỉnh α và tham số h được chọn sao cho α −→ 0,
h/α −→ 0, thì nghiệm xhα của phương trình (1.16) hội tụ về nghiệm của bài toán (1.15).