Ta biết rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên không gian Banach lồi chặt E nếu khác rỗng thì là một tập lồi và đóng. Do đó, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong trong gian Banach E là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng sau:
Xác định một phần tử x∗ ∈ C =∩iN=1Ci 6= ∅, (1.35)
trong đó Ci, i = 1,2, ..., N là các tập lồi, đóng trong không gian Banach
E.
Trong trường hợp E là một không gian Hilbert H thì bài toán (1.35), tương đương với bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Ti, i = 1,2, ..., N, với Ti là các phép chiếu mêtric từ H lên Ci. Do đó, việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert H và tổng quát hơn là trên không gian Banach là một nảy sinh tất yếu.
Phát biểu bài toán:
Tìm một phần tử x∗ ∈ S =∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅, (1.36)
trong đó Ti : E −→ E, i = 1,2, ..., N là các ánh xạ không giãn từ không gian Banach E vào chính nó.
Chú ý 1.16 Bài toán (1.36) còn có thể có nhiều biến thể khác nhau, chẳng hạn như: Ti : C −→ C, Ti : Ci −→ Ci hay T : Ci −→ E trong đó
C, Ci, i = 1,2, ..., N là các tập con lồi và đóng của E.
Các định lí dưới đây khẳng định sự tồn tại điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn:
Định lí 1.7 [19] Cho E là một không gian Banach và K là một tập con khác rỗng, compact, lồi của E. Nếu F là một họ giao hoán hữu hạn các ánh xạ không giãn từ K vào K, thì họ F có ít nhất một điểm bất động chung trong K.
Định lí 1.8 [34] Cho E là một không gian Banach lồi đều, K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của E, {Tλ} là một họ giao hoán các ánh xạ không giãn từ K vào K. Khi đó, họ {Tλ} có ít nhất một điểm bất động chung trong K.
Chú ý 1.17 Bài toán (1.36) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Ta thấy ngay rằng điều kiện có nghiệm duy nhất nói chung là không được thỏa mãn. Ngoài ra, ta còn có thể chỉ ra rằng bài toán (1.36) là đặt không chỉnh theo nghĩa với những thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào có thể dẫn đến những thay đổi đáng kể của nghiệm của bài toán. Chẳng hạn, bài toán giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát là tương đương với bài toán tìm