Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phương trình với toán tử đơn điệu và toán tử j−đơn điệu.
Xét bài toán
Xác định phần tử x∗ ∈D(A) sao cho A(x∗)3 0, (1.17)
với A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử m-j-đơn điệu.
Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán tử đơn điệu cực đại thì Rockafellar R. T. [77] đã xét phương pháp lặp
cnAxn+1+xn+1 3 xn, x0 ∈ H, (1.18) ở đây cn > c0 > 0 và gọi là phương pháp điểm gần kề. Rockafellar cũng đã chỉ ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn} xác định bởi (1.18) về một nghiệm của bài toán (1.17).
Chú ý 1.12 Phương pháp điểm gần kề được Martinet B. đề xuất lần đầu tiên trong tài liệu [63] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới ψ : H −→R∪ {+∞} ở dạng sau:
xn+1 =argminy∈Hψ(y) + 1 2cn
kxn−yk2 với mọi n ≥ 1. (1.19)
Năm 1991, Guler [39] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp lặp.. (1.18) không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát. Một ví dụ gần đây của các tác giả Bauschke, Matouˇskov´a và Reich [17] cũng chỉ ra rằng dãy lặp {xn} xác định bởi (1.18) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn.
Năm 2001, Attouch H. và Alvarez F. [14] đã xét một mở rộng của phương pháp điểm gần kề (1.18) ở dạng
cnA(xn+1) +xn+1−xn 3 γn(xn−xn−1), x0, x1 ∈ H (1.20) và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, ở đây {cn} và {γn} là hai dãy số không âm. Tuy nhiên, người ta cũng chỉ thu được sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn} xác định bởi (1.20) về một nghiệm của bài toán (1.17) trong không gian Hilbert. Kết quả của Attouch và Alvarez được cho bởi định lí dưới đây:
Định lí 1.5 [14] Cho H là một không gian Hilbert và cho {xn} ⊂ H là một dãy được xác định bởi
xn+1 = JλAn xn+αn(xn−xn−1), n= 1,2, ... (1.21)
ở đây A : H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại với S =A−1(0) 6= ∅
và các tham số αn, λn thỏa mãn các điều kiện:
i) Tồn tại số λ > 0 sao cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1;
ii) Tồn tại α ∈ [0,1) sao cho 0 ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ 1. Nếu điều kiện sau được thỏa mãn
∞
X
n=1
αnkxn−xn−1k2 < +∞,
thì tồn tại x∗ ∈ S sao cho dãy {xn} hội tụ yếu về x∗.
Chú ý 1.13 Phương pháp lặp (1.21) còn có thể viết dưới dạng tương đương sau:
λnA(xn+1) +xn+1 3xn+αn(xn−xn−1). (1.22)
Chú ý 1.14 Phương pháp lặp (1.21) lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Alvarez F. [13], cho bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f ở dạng
1
λn
(un+1−(1 +αn)un+αnun−1) +∂εnf(xn+1) 3 θ, (1.23)
trong đóεn, λn > 0,αn ∈ [0,1)và∂εnf(x) = {u ∈ H : f(y)−f(x)−hu, y−
xi ≥ −εn} là εn−xấp xỉ dưới vi phân của hàm lồi f. Ông đã chỉ ra rằng, nếu các dãy số {λn}, {αn} và {εn} thỏa mãn các điều kiện 0 ≤ αn ≤ 1, dãy {λn} bị chặn dưới bởi một hằng số dương, dãy {αn
λn} đơn điệu giảm và P∞n=0λnεn < ∞, thì dãy {un} xác định bởi (1.23) cũng hội tụ yếu về điểm x∗ làm cực tiểu phiếm hàm f.
Năm 1996, Lehdili và Moudafi [57] đã thu được sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} xác định bởi
xn+1 = JAn
cn (xn), (1.24) về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert, trong đó An = µnI + A là toán tử hiệu chỉnh Tikhonov của A
và JAn
cn = (I +cnAn)−1. Phương pháp lặp (1.24) được gọi là phương pháp prox-Tikhonov.
Vấn đề nghiên cứu những cải tiến hay cải biên của phương pháp điểm gần kề nhằm thu được sự hội tụ mạnh đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Năm 2000, các tác giả Kamimura S., Takahashi W. [49] và năm 2002, Xu H. K. [89] đã độc lập chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} được xác định bởi
xn+1 = αnx1 + (1−αn)JrAn(xn) +en, n = 1,2, ... (1.25) về không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert với một vài điều kiện thích hợp đặt lên các dãy số {αn}, {rn} và {en}. Ngoài ra, trong tài liệu [49], các tác giả Kamimura S., Takahashi W. cũng đã chỉ ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn} xác định bởi
xn+1 =αnxn+ (1−αn)JrAn(xn) +en, n = 1,2, ... (1.26) Tiếp đó, năm 2004 các tác giả Kohsaka F. và Takahashi W. [54] đã mở rộng phương pháp lặp (1.25) trên không gian Banach trơn và lồi đều E, cụ thể hơn họ đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} xác định bởi
xn+1 = j−1(αnj(x1) + (1−αn)j(JrAn(xn))), n = 1,2, ... (1.27) và các tác giả Kamimura S., Kohsaka F., Takahashi W. [48] cũng đã mở rộng phương pháp lặp (1.26) trên không gian Banach trơn và lồi đều E ở dạng
xn+1 =j−1(αnj(xn) + (1−αn)j(JrAn(xn))), n = 1,2, ... (1.28) ở đây, j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E.
Năm 2006 Xu H. K. [88]; năm 2009 Song Y. và Yang C. [80] đã sử dụng các kĩ thuật của ánh xạ không giãn kết hợp với đồng nhất giải thức để thu được sự hội tụ mạnh của dãy {xn} xác định bởi
xn+1 = JrAn(tnu+ (1−tn)xn+en), (1.29) về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert H, ở đây {rn} là dãy số thực dương, {tn} ⊂ (0,1) và {en} là dãy
sai số trong tính toán ở mỗi bước lặp. Chú ý rằng dãy lặp {xn} xác định bởi (1.29) có thể được viết lại dưới dạng tương đương như sau:
rnA(xn+1) +xn+1 3 tnu+ (1−tn)xn+en, n ≥ 0. (1.30)
Chú ý 1.15 Phương pháp lặp (1.24) của Lehdili N. và Moudafi A. chỉ là một trường hợp riêng của phương pháp lặp (1.29) của Xu H. K.. Thật vậy, khi bỏ qua sai số tính toán ở mỗi bước lặp, tức là en = 0 với mọi n và
u= θ, thì dãy lặp (1.29) trở thành
xn+1 = JrAn((1−tn)xn). (1.31) Đặt λn := rn
1−tn và µn := tn
rn, khi đó (1.31) có thể viết dưới dạng xn+1 = JAn
λn (xn), với An = A+µnI. (1.32) Như vậy, (1.29) trở về phương pháp prox-Tikhonov (1.24) được nghiên cứu bởi Lehdili N. và Moudafi A. khi en = 0 với mọi n và u = θ.
Theo một hướng khác, để thu được sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề (1.18), Ryazantseva I. P. [78] đã kết hợp phương pháp điểm gần kề với hiệu chỉnh cho trường hợp A là toán tử m-j-đơn điệu đơn trị và gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh ở dạng
cn(A(xn+1) +αnxn+1) +xn+1 = xn, x0 ∈E. (1.33) Với một vài điều kiện thích hợp đặt lên các tham số cn vàαn, thì ta thu được sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} xác định bởi (1.33) khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j của E là liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh.