4 Kết luận
3.2 Số lepton của các hạt trong mô hình
định bởi SM. Có nghĩa là, NR nằm trong tam tuyến lepton nhưng lại có số lepton bằng 0; U, D là các quark nhưng lại có số lepton khác 0; các boson chuẩn X, Y và các hạt vô hướng ρ3, η3, và χ1,2 có số lepton khác 0. Vì vậy mô hình này chính là mô hình với phần lớn các hạt mới mang số lepton sai (wrong-lepton particles) hay còn gọi là mô hình với các hạt lepton sai.
Trong luận án này, chúng tôi giả sử rằng đối xứng G là đối xứng chính xác thì dẫn đến đối xứng U(1)L của số lepton cũng sẽ là đối xứng chính xác. Tuy nhiên, vì cả ba tam tuyến vô hướng đều mang tích dưới đối xứng G và sẽ nhận giá trị từ trung bình chân không, vì vậy đối xứng G
phải bị phá vỡ tự phát. Giá trị trung bình chân không của các trường vô hướng trung hòa là nghiệm của phương trình cực tiểu thế và được xác định như sau [22]:
hχ01i = hη30i = 0, (3.11)
hρ02i 6= 0, hη01i 6= 0, hχ03i 6= 0. (3.12) Ngoài ra, với trung bình chân không như (3.11) và (3.12) chúng ta có thể viết trung bình chân không cho ba tam tuyến vô hướng,
hρi = √1 2(0, v,0) T, hηi = √1 2(u,0,0) T, hχi = √1 2(0,0, ω) T. (3.13)
Tất cả các hạt trong mô hình (ngoại trừ νL và NR) sẽ nhận khối lượng ở mức cây tương tự như các mô hình 3-3-1 với các neutrino phân cực phải [22]. Chúng ta giả sử ω là thang đặc trưng cho phá vỡ đối xứng ở bước đầu tiên SU(3)L⊗U(1)X về SU(2)L⊗U(1)Y; u, v là thang phá vỡ đối xứng ở bước hai SU(2)L⊗U(1)Y về U(1)Q. Để phù hợp với yêu cầu
thực nghiệm thì,
u2, v2 ω2. (3.14)
Với đối xứng G, mặc dù số lepton L là tổ hợp của hai tích bị phá vỡ L
và T8 nhưng nó vẫn bảo toàn (Lhρi = Lhηi = Lhχi = 0). Phá vỡ đối xứng của G thành số lepton như sau:
G = SU(3)L ⊗U(1)L −→U(1)L, (3.15) gợi ý sự tồn tại của 8 Goldstone boson được chứa trong ba tam tuyến vô hướng ρ, η, χ. Tuy nhiên, các Goldstone boson này sẽ tương ứng với các Goldstone boson của phá vỡ đối xứng chuẩn SU(3)L⊗U(1)X về đối xứng U(1)Q.
Hơn nữa, số baryon không giao hoán với đối xứng chuẩn sẽ dẫn đến đối xứng chuẩn chính xác bị phá vỡ như sau,
G0 ≡ SU(3)L⊗U(1)B −→ U(1)B, (3.16) bởi vì số baryon U, Dα chưa được biết nên nó có thể bất kỳ (trường hợp này giúp ta loại bỏ các tương tác không mong muốn có vi phạm số baryon do tích B bảo toàn). Các hạt vô hướng χ01 và η30 sẽ mang số baryon với giá trị trung bình chân không được xác định như trên. Để đơn giản ta lấy B(U) = B(Dα) = 1/3 = B(ua) = B(da) và đưa đến đối xứng baryon U(1)B là đối xứng chính xác sau phá vỡ [30],
B = B. (3.17)
Số baryon của các hạt trong mô hình được cho bởi bảng 3.3.
Multiplet ψaL eaR Q3L QαL uaR daR UR DαR ρ η χ B 0 0 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 0 0 0 Bảng 3.3: Tích B của các đa tuyến trong mô hình.
Chúng ta chú ý một số các trường hợp: (i) Nếu hχ01i 6= 0 hoặc hη30i 6= 0
thì L sẽ bị phá vỡ cùng với T8 và L. (ii) Bảo toàn L trong mô hình này không còn là hệ quả của lý thuyết như trong SM, bởi vì đối xứng U(1)L
không bị ràng buộc và dẫn đến các tương tác không mong muốn vi phạm tường minh số lepton L chẳng hạn như tương tác Yukawa và thế Higgs [46, 30]. (iii) Nếu số baryon của U, Dα được chọn một cách hợp lý thì nhận xét (i) và (ii) cũng đúng cho số baryon.
Cách làm như trên cũng có thể áp dụng cho mô hình 3-3-1 tối thiểu [24] và mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải [22]. Tuy nhiên, các hạt lepton sai trong các mô hình này sẽ khác với mô hình đang xét là chúng có số lepton bằng 2 (mang số lepton 2 đơn vị). Chúng gọi là các hạt bilepton. Ngoài ra, vấn đề DM trong những mô hình này so với các mô hình đang xét sẽ hoàn toàn khác, như chúng ta sẽ thấy bên dưới.
3.1.2 Đối xứng chuẩn 3-3-1-1 và W-parity
Như chúng ta đã biết, số lepton L và L thỏa mãn (3.10) đã được đưa ra trong các mô hình 3-3-1 trước đây [30]. Tuy nhiên, đặc tính động lực của chúng chưa được hiểu một cách đầy đủ. Bài báo [23] lần đầu tiên đã cho giải thích sơ bộ về bản chất động lực không tầm thường của số lepton trong mô hình 3-3-1. Trong luận án này, động lực gắn với số lepton sẽ được phân tích chi tiết và đầy đủ. Vì T8 là tích chuẩn của nhómSU(3)L, số lepton L và do đó L hiển nhiên phải là tích chuẩn. Thật vậy, nếu L
và L là các tích toàn cục thì T8 ∼L− L cũng là tích toàn cục. Điều này mâu thuẫn với đối xứng chuẩn SU(3)L. Vì số lepton là tích chuẩn, các dị thường tương ứng với L và L xuất hiện. Lý thuyết như vậy không thể tái chuẩn hóa được do đồng nhất thức Ward-Takahashi bị vi phạm. Do đó chúng ta cần phải loại bỏ dị thường L và L. Tất cả những phân tích
trên cho L và L cũng đúng với trường hợp số baryon nếu nó được xem
như là một tích chuẩn.
Giải pháp để khử dị thường gắn với số lepton là khảo sát mô hình với đối xứng chuẩn N ≡ B − L (ở đây B là số baryon được định nghĩa
ở trên). Đồng thời ta đưa vào ba neutrino phân cực phải biến đổi như đơn tuyến của nhóm 3-3-1:
νaR ∼ (1,1,0). (3.18)
Neutrino phân cực phải νaR có số lepton và số baryon như thông thường,
L(νaR) = L(νaR) = 1 và B(νaR) = B(νaR) = 0. Sự thêm vào νaR để khử dị thường hấp dẫn [Gravity]2U(1)N (chú ý dị thường hấp dẫn của νL và
NR không triệt tiêu nhau). Chúng ta có thể kiểm tra rằng lý thuyết là độc lập (triệt tiêu) đối với tất cả các dị thường (xem phụ lục B cho tính toán chi tiết).
Nhóm đối xứng chuẩn của mô hình là
Vì vậy, ta gọi mô hình thu được là mô hình 3-3-1-1. Các đa tuyến của mô hình 3-3-1-1 và các tích N tương ứng được cho bởi bảng 3.4. Chú ý, để phá vỡ tích B −L chúng ta phải thêm một trường vô hướng phức biến đổi như đơn tuyến của nhóm 3-3-1,
φ ∼ (1,1,0), (3.20)
với B(φ) =B(φ) = 0, L(φ) = L(φ) =−2. Đối xứng 3-3-1-1 sẽ bị phá vỡ tự phát và các hạt trong mô hình nhận khối lượng đúng thông qua bốn trường vô hướng φ, η, ρ, χ.
Multiplet ψaL eaR νaR Q3L QαL uaR daR UR DαR ρ η χ φ N =B − L −2 3 −1 −1 2 3 0 1 3 1 3 4 3 −2 3 1 3 1 3 −2 3 2
Bảng 3.4: Các đa tuyến trong mô hình 3-3-1-1 với tích N tương ứng.
Tích chuẩn B −L được xác định như sau:
B −L = −√2
3T8 +N. (3.21)
Đây là tích không bị phá vỡ sau khi SU(3)L ⊗ U(1)N bị phá vỡ bởi
η, ρ, χ. Sự mở rộng mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa thành mô hình 3-3-1-1 cũng có thể áp dụng cho các mô hình 3-3-1 thông thường như mô hình 3-3-1 tối thiểu và mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải. Cách mở rộng này khá tương tự như việc mở rộng lý thuyếtSU(5)thành
SO(10) với tích B−L được xem như là một tích chuẩn định xứ.
Hiện tượng luận của mô hình 3-3-1-1 rất phong phú [48]. Tuy nhiên, trong luận án này chúng tôi chỉ tập trung vào một hệ quả là đối xứng gián đoạn còn dư sau phá vỡ đối xứng chuẩn 3-3-1-1. Đối xứng gián đoạn này sẽ cho một số hạt mới bền vững và chúng có thể là ứng cử viên của DM. Vì vậy, động lực gắn với số lepton và baryon sẽ không được quan tâm nghiên cứu. ở đây, số lepton được hiểu như là một hệ quả của bảo toàn tích tương ứng với nhóm G = SU(3)L ⊗U(1)L. Thừa số đầu tiên là phiên bản đối xứng toàn cục của đối xứng chuẩn. Nghĩa là, khi tính toán số lepton, tất cả các số lượng tử gắn với đối xứng toàn cục SU(3)L cho các đa tuyến của mô hình giống như đối xứng SU(3)L định xứ. Do đó, nếu T8 và L đặc trưng cho số lepton thì chúng được
SU(3)L ⊗ U(1)X. Tương tự, số baryon B cũng được xem như là tích toàn cục thông thường. Thực tế, các mô hình 3-3-1 luôn luôn bảo toàn số baryon. Vì vậy, số lepton L hay L tác động lên mô hình là tương đương với tích N và sẽ được nhắc đến thay cho N trong các thảo luận dưới đây. Tóm lại, mô hình 3-3-1 với các fermion trung hòa và tích L
(cộng thêm các neutrino mới phân cực phải và đơn tuyến vô hướng) được hiểu như là mô hình 3-3-1-1, trong đó tương tác chuẩn ứng với tích N
không được xét đến.
Mặc dù lý thuyết bất biến với các đối xứng U(1)L và U(1)B và L, B
không bị phá vỡ bởi các giá trị trung bình chân không của η, ρ, χ. Tuy nhiên, B, L nên bị phá vỡ theo một cách nào đó để giải thích bất đối xứng vật chất và phản vật chất của Vũ trụ, đồng thời cung cấp khối lượng cho neutrino. Như đã được chỉ ra, bản chất của L trong mô hình này là tích định xứ vì nó là kết quả của T8. Lý thuyết với L định xứ có thể đưa về lý thuyết với tích N = B − L. Chúng ta phải phá vỡ hoàn toàn tích N cũng như cung cấp khối lượng đủ lớn cho boson chuẩn mới
ZN tương ứng để hạt này không bị phát hiện bởi các máy gia tốc hiện tại. Điều này có thể đạt được nếu ta đưa vào đơn tuyến vô hướng φ như đã đề cập, với giá trị trung bình chân không,
hφi = √1
2Λ. (3.22)
Với những vô hướng và trung bình chân không đã cho, ta có thể chứng minh được rằng parity (tương tự parity trong MSSM) là đối xứng gián đoạn còn dư và không bị phá vỡ sau phá vỡ đối xứng B − L =
−(2/√
3)T8 + N [hay SU(3)L ⊗ U(1)N]. Parity này là một đối xứng chính xác của mô hình 3-3-1-1 và do đó khi kể đến spin sẽ có dạng:
P = (−1)3(B−L)+2s = (−1)−2√3T8+3N+2s. (3.23)
P vẫn bảo toàn tất cả các trung bình chân không được cho ở trên. Xem phụ lục C cho một chứng minh chi tiết về P. R-parity của các hạt trong mô hình được cho ở bảng 3.5.
Chúng ta thấy rằng tất cả các hạt có số lepton sai khác so với tự nhiên thông thường của chúng như được quy định bởi SM bởi 1 đơn vị, ví dụ
L(NR) = 0, L(U) = −1, L(X) = 1, L(ρ3) = −1 thì được gọi là các hạt lepton sai với tích R-parity lẻ. Ngược lại, các hạt thông thường là các hạt trong SM và các hạt mới có tích R-parity chẵn. Như vậy R-parity
+1 (ordinary or νL e u d γ W Z ρ1,2 η1,2 χ3 φ
bilepton particle) νR Z0 ZN
−1 (lepton sai NR U D ρ3 η3 χ1,2 X Y
particle)
Bảng 3.5: R-parity của các hạt trong mô hình 3-3-1-1 gồm hai loại là các hạt lepton sai và các hạt thông thường.
có nguồn gốc từ đối xứng chuẩn 3-3-1-1 và là một đối xứng tự nhiên của các hạt lepton sai. Hạt lepton sai nhẹ nhất (LWP) là bền vững do đối xứng R-parity và có khả năng là ứng viên của DM. Như đã được đề cập, chúng ta có thể có một số các vi phạm đối với L và B (ví dụ L = ±2 bị phá vỡ bởiΛ) để làm cho mô hình đúng về hiện tượng luận trong khi vẫn bảo toàn parity cho DM. Thông qua nghiên cứu này, chúng ta có thể có các hạt lẻ R-parity không phải là siêu hạt như trong các lý thuyết siêu đối xứng. Ta có thể chỉ ra tường minh rằng mọi tương tác của lý thuyết chỉ liên kết các hạt lẻ R-parity theo từng cặp và kèm theo các hạt thông thường do đối xứng chuẩn 3-3-1 [23]. Xét một số ví dụ và các hệ quả:
1. Tương tác Yukawa
LY = heabψ¯aLρebR+hνabψ¯aLηνbR+h0abνν¯aRc νbRφ+hUQ¯3LχUR
+hDαβQ¯αLχ∗DβR+hauQ¯3LηuaR +hdaQ¯3LρdaR
+hdαaQ¯αLη∗daR +huαaQ¯αLρ∗uaR+ H.c. (3.24) Ta thấy rằng các hạt vô hướng lẻ parity ρ3, η3 và χ1,2 không tương tác với các fermion thông thường mà chỉ liên kết với cặp hạt chẵn lẻ eN, νN, uU, dU, dD, uD và bảo toàn đối xứng 3-3-1. Không có tương tác vi phạm tích L (dẫn đến vi phạm R-parity) chẳng hạn như ψ¯aLχνbR, ψ¯aLc ψbLρ, Q¯3LχuaR, Q¯αLχ∗daR, Q¯3LηUR,... Hơn nữa, do R-parity được bảo toàn bởi các giá trị trung bình chân không của η30 và χ01 (trung bình chân không bằng 0) nên các quark thông thường và quark ngoại lai không trộn lẫn với nhau. Điều này dẫn đến trong mô hình sẽ không có sự xuất hiện của dòng trung hòa thay đổi số vị ở mức cây. Vấn đề này trong mô hình 3-3-1 với các neutrino phân cực phải [22] hoàn toàn được loại bỏ bởi parity. Hơn nữa, NR không trộn với νL và νR do đối xứng parity.
2. Tương tác boson chuẩn:
Các boson chuẩn mang tích lẻ parity X, Y không liên kết với các boson chuẩn của SM [49]. Do đối xứng R-parity, boson chuẩn X
không trộn với hai boson Z và Z0 và vì vậy vi phạm CPT ở mức cây được loại bỏ [51]. Do đó, các vấn đề gắn với mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải [22] được giải quyết bởi đối xứng parity. Chúng ta lưu ý rằng, trong MSSM, spin của các hạt thành phần trong cùng một siêu đa tuyến không giao hoán với siêu đối xứng (tương tự như trong mô hình 3-3-1-1 không siêu đối xứng, số lepton không giao hoán với đối xứng chuẩn). Tuy nhiên, R-parity tương ứng với spin, số lepton và số baryon (R-parity không giao hoán với các vi tử siêu đối xứng) được bảo toàn và không bị phá vỡ ngay cả khi đối xứng toàn cục bị phá vỡ cùng với sự phá vỡ siêu đối xứng. Một điều cần nhấn mạnh ở đây là siêu thế MSSM bảo toàn số lepton và số baryon không phải là hệ quả tự động của lý thuyết ở mức tái chuẩn hóa. Điều này khác với SM. R-parity có nguồn gốc khác so với đối xứng chuẩn của mô hình 3-3-1-1. Điều này do tính chất của tích lepton vốn nằm ở trong nhóm SU(3)L ⊗U(1)L, tích baryonU(1)B và spin. Đặc biệt, đối xứng G hayU(1)L của số lepton bị phá vỡ do phá vỡ đối xứng chuẩn. Bảo toàn đối xứng L trong mô hình này có thể được đảm bảo bởi R-parity. Phá vỡ tích N = B − L
có thể xuất hiện ở thang TeV hoặc thang rất cao. Vì vậy, chúng ta gọi
R-parity trong mô hình này là W-parity và ở đây W nghĩa là lepton sai (wrong-lepton).
Tùy thuộc vào không gian tham số của mô hình, LWP có thể là hạt vector (X0), vô hướng (χ01 hay η30), hoặc fermion (NR0). Tất cả các hạt này phải trung hòa điện nếu chúng là ứng cử viên cho DM. Trước khi xem xét các trường hợp này, trong phần tiếp theo chúng ta sẽ đi đồng nhất các hạt vô hướng vật lý và khối lượng của chúng với sự chú ý đến các hạt lepton sai.
3.1.3 Thế vô hướng và khối lượng
Nếu đơn tuyến vô hướngφ có giá trị trung bình chân khôngΛcỡ thang
ω của phá vỡ đối xứng 3-3-1 thì nó sẽ tương tác với các vô hướng thông thường η, ρ, χ thông qua thế vô hướng. Hiện tượng luận ứng với đối xứng B−L bị phá vỡ với sự hiện diện của boson chuẩn ZN sẽ xuất hiện
đồng thời với vật lý mới của mô hình 3-3-1 ở thang TeV [48]. Nếu trung bình chân không Λ rất lớn so với ω, nghĩa là trường Higgs cho phá vỡ đối xứng U(1)N rất nặng, thì φ sẽ tách khỏi thế hiệu dụng của η, ρ, χ ở năng lượng thấp. Ngoài ra, ZN cũng tách khỏi phổ và không trộn lẫn với các boson chuẩn của mô hình 3-3-1. Trường hợp này sẽ được xét chi tiết trong luận án. Lưu ý rằng, tính chất của W-parity trong cả hai trường hợp không thay đổi.
Chúng ta có thể khai triển trường φ như sau: