2 ( )
n n n n n n n g
q q q u t (2.14)
Trong đó n là tầng số dao động tự nhiên, ζn là hệ số giảm sóc cho n dạng dao động. Lời giải qn từ công thức (2.14) được cho bởi:
( ) ( )
n n n
q t D t (2.15) Khi đó Dn(t) được tính từ công thức dao động cho n dạng dao động của hệ SDOF. Hệ SDOF với các thuộc tính dao động như tần số tự nhiên, hệ số giảm sóc cho n dạng dao động được lấy từ hệ MDOF, với u tg( ):
2
2 ( )
n n n n n n g
D D D u t (2.16)
b. Kết cấu không đàn hồi
Đối với mỗi phần tử kết cấu của một tòa nhà, đường cong tải ban đầu có thể được lý tưởng hóa một cách hợp lý (ví dụ như song tuyến tính có hoặc không có suy biến) và các đường cong dở tải và lập tải có sự khác nhau từ các nhánh tải ban đầu. Như vậy mối quan hệ giữa lực bên fs với mức sàn tầng N và chuyển vị bên u không phải là duy nhất nhưng nó phụ thuộc vào lịch sử của chuyển vị :
( , )
s s sign
f f u u (2.17) Mở rộng cho hệ không đàn hồi, từ công thức (2.6) có thể viết:
( , ) ( )
s sign u tg
mu cu f u u mι (2.18) Mặc dù phương thức phân tích cổ điển là không hợp lý cho hệ không đàn hồi. Mỗi kết cấu phần tử của hệ đàn hồi thì độ cứng được xác định như độ cứng ban đầu của kết cấu phần tử không đàn hồi. Cả hai hệ thống này giống nhau về khối lượng và giảm chấn. Vì vậy chu kỳ dao động tự nhiên và phương thức của hệ tuyến tính tương ứng là tương tự như các thuộc tính rung động của hệ không đàn hồi dưới dao động nhỏ (trong phạm vi tuyến tính).
Mở rộng chuyển vị của hệ không đàn hồi từ phương thức dao động tự nhiên của hệ đàn hồi tương ứng, ta nhận được :
1 ( ) ( ) N n n n t q t u (2.19)
Thay phương trình (2.19) vào phương trình (2.18), và cùng nhân cả hai vế với nT, sau đó sử dụng trực giao khối lượng, và hệ số cản của dạng dao động ta được:
2 sn ( ), n n n n n g n