Giả sử K là một vành giao hoán và Mn(K) là tập các ma trận vuông cấp n trên K. Nếu a (aij) ∈ Mn(K) ta viết đa thức đặc trƣng của ma trận a là:
Xét vành đa thức Z [η1 ,..., ηn ], thì
trong đó p1 = Σ ηj ,..., pn = η1 ... ηn là các đa thức đối xứng cơ bản. Ta dùng g để ánh xạ G: a → h (tr a,..., det a) (2) từ Mn(K) vào K. Trong trƣờng hợp đặc biệt ta đặt: và ta thu đƣợc biệt số của ánh xạ D. Nếu K là trƣờng vô hạn thì ánh xạ a → tr(a),..., a → det(a) là các hàm đa thức trên Mn(K). Do đó G là hàm đa thức. Nếu K là đại số đóng và ρ1 ,... ρn là trắc nghiệm trặc trƣng của ma trận a thì tr (a) = Σρi ,...
det (a) = ρ1 ,... ρn , nhƣ vậy G(a) =h (Σρi ,..., ρ1 ,... ρn ) = g (ρ1 ,... ρn ). Do đó G trùng với ánh xạ a → g (ρ1 ,... ρn ) (3). Trong trƣờng hợp riêng , nếu g = d thì ánh xạ D là Rõ ràng D(a) ≠ 0 nếu và chỉ nếu các nghiệm đặc trƣng là phân biệt.
Giả sử Z [η1 ,..., ηn+1]là đại số đa thức trên vành số nguyên Z, trong đó η1,..., ηn+1 là ẩn và Z [x,y1,...,yn] là đại số tự do trên z sinh bởi x, y1,...yn. Nếu : f = ∑
=(v1,...,vn+1 ) ∈ Z[η1 ,..., ηn+1] (5) ta định nghĩa pf =
Bây giờ ta đặc biệt hóa: thì
Đẳng thức (9) bằng 0 trên tập còn trên tập : ta có đẳng thức:
Hai chỉ số đƣợc chọn trong tập {i1,i2,...in, jn}. Bây giờ giả sử f thỏa mãn:
(i) f (η1 ,..., ηn+1) chia hết mọi ηi - ηj , i ≠ j, ngoại trừ η1 - ηn+1 . (ii) g (η1 ,..., ηn) = f (η1 ,..., ηn, η1) là đôi xứng theo η1 ,..., ηn.
với các ij phân biệt ta có :
Ta định nghĩa: trong đó các chỉ số dƣới đƣợc viết theo mod n, thì : trên tập còn trên tập {ei1i2,ei2i3...ein- 1in ,einjn} với các ij phân biệt ta có :
Để đơn giản ta chọn một f thỏa (i) và (ii) ta đƣợc đa thức Formanek Đẳng thức này có hệ số là ± 1 và ta có:
(iii) Đối với bất kỳ trƣờng K tồn tại a ∈ Mn(K) sao cho G(a) ≠ 0, trong đó G đƣợc xác định bởi (2).
2.3.1 Định lý:
1/ Giả sử f ∈ Z[η1 ,..., ηn+1] thỏa mãn (i), (ii), (iii), thì : pf (x ,y1,...yn) được xác định bởi (6) và (9) là đa thức tâm của Mn(K) đối với mọi vành giao hoán K.
2/ Tồn tại a ∈ Mn(K) sao cho G(a) không lũy linh và b1, ...bn∈ Mn(K) sao cho qf (a, b1,.., bn) ≠ 0.
3/ Nếu f thỏa 1/ và (η1 ,..., ηn ) ∈ Z [η1 ,..., ηn] và l là đối xứng thì: q1f(a, b1,...,bn)= L(a)qf (a, b1,...,bn) với ∀a,bi∈ Mn(K) trong đó L được xác định trong (1) bơi l (η1 ,..., ηn).
2.3.2 Định lý: Bất kỳ đa thức tâm có số hạng tự do bằng 0 của Mn(K) đều là đồng nhất thức của Mn-1(K).
Nhận xét: Trên đây ta đã giải quyết một cách trọn vẹn việc chứng minh định lý
Kaplansky-Amitsur-Levitzky đúng trên các PI. Đại số nguyên thủy (trên một vành giao hoán có đơn vị). Do đó hiển nhiên định lý cũng đúng cho các PI. đại số nguyên thủy trên một trường, Ở đây khái niệm đồng nhất thức đa thức thực sự của đại số trên một vành giao hoán có đơn vị, tương đương với khái niệm đồng nhất thức đa thức khác 0 của đại số trên một trường. Từ những kết quả quan trọng trên đây, đặc biệt là kết quả định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky đã đặt nền móng, mở rộng và định hướng cho việc nghiên cứu các kết quả đó, trên một số lớp các PI. Đại số trên vành giao hoán rộng hơn, cụ thể là trên lớp các PI. đại số không có ni-ideal khác 0. Một trong các hướng mở rộng đó sẽ được đề cập một cách cụ thể trong chương 3 sau đây.
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÁC PI. ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC KHÔNG.
Mở đầu cho việc trình bày nội dung cơ bản nhất của chương 3, tác giả luận văn xin được giới thiệu tổng quan về lớp vành không có nil-ideal khác không.Khi đi sâu nghiên cứu, cho ta thấy được những kết quả không kém phần thú vị về lớp vành này. Đó là lớp vành " tựa tựa giống" như lớp vành chính nằm tiềm ẩn trong lớp vành không giao hoán nói chung.