3.3.1 Định lý: A là đại so không chứa ideal lũy linh khác 0 khi và chỉ khi A là tích trực
tiếp con của các đại số nguyên tố.
Chứng minh: Nếu A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố Aα , và N là ideal lũy linh của A. Thì Nα = πα (N) là ideal lũy linh của Aα . Do
đó Nα = 0. Đẳng thức này đúng cho mọi a nên N = 0. Ngƣợc lại giả sử A là đại số không chứa ideal lũy linh khác không và M là ideal khác 0 bất kỳ của A ⇒ M không lũy linh. Chọn m1∈ M, m1 ≠ 0 thì Am1A là ideal khác 0 chứa trong M (không lũy linh), nên (Am1A)2 = A(m1Am1)A ≠ 0
⇒ m1Am1 ≠ 0 ⇒ ∃a1∈ A : m2a1m1 ≠ 0 và m2∈ M.
Cứ tiếp tục quá trình trên ta chọn đƣợc một dãy các phần tử khác 0 có dạng: m1 ; m2 = m1a1m1; m3=m2a2m2;..;mi =mi-1ai-1 mi-1;... thuộc M. Từ dạng của các phần tử này chứng tỏ rằng: nếu k > i, j thì mk =miaijmj trong đó aij ∈ A. Do (0) ∩ {mi} = ∅ nên theo bổ đề Zorn tồn tại ideal P của A sao cho p là lớn nhất trong tất cả các ideal thỏa P ∩ {mi} = ∅ . Ta chứng minh p là ideal nguyên tố. Thật vậy, giả sử C, D là các ideal của A thỏa C ⊄ P và D ⊄ P nên các ideal C + P và D + P chứa thực sự P, do đó tồn tại mi∈ C+P và mj∈ D+P ⇒ nếu k > i,j thì mk = miaijmj∈ (C+P) (D+P) ⊂ CD +P ⇒ mk ∈ CD vì mk ∉ P ⇒ CD ⊄ P. Điều này chứng tỏ rằng: với bất kỳ ideal M ≠ 0 của A luôn tồn tại ideal nguyên tố p không chứa M. Ta chứng minh Giả sử ngƣợc lại theo trên tồn tại một ideal nguyên tố P0 của A không chứa thực sự vô lí. Nhƣ vậy (đpcm) .
Hệ quả : A là đại số không có ideal lũy linh khác 0 thì và chỉ khi .
3.3.2 Định lý: Giả sử A là đại số không chứa ideal lũy linh khác 0, có tâm là c và thoa
mãn đồng nhất thức thực sự f có bậc n, thì:
1/ A thỏa mãn đồng nhặt thức chuẩn S2[n/2]. 2/ Mọi ideal I ≠ 0 của A , ta có I ∩ C ≠ {0}
Chứng minh: 1/ Gọi p là ideal nguyên tố của A thì A/P là đại số nguyên tố và cũng thỏa mãn đồng nhất thức thực sự f có bậc n của A. Theo định lý Amitsur ta có A/P thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2[n/2].
Nếu a1,a2,...,a2[n/2]∈ A thì S2[n/2] (a1, a2,...,a2[n/2] ) ∈ P.
Do với mọi ai ∈ A (đpcm).
2/ Theo định lý 3.3.1, ta có: A là tổng trực tiếp con của các đại số nguyên tố Aα. Vậy với mọi α thì Aα cũng thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2[n/2] , cho nên bậc của mọi Aα đều bị chặn. Do đó theo định lý 3.2.11 suy ra mọi ideal I ≠ 0 của A, ta co I ∩ C ≠{0}.
KẾT LUẬN
Posner là ngƣời đầu tiên đã chứng minh đƣợc kết quả sau đây trong luận văn tiến sĩ của mình: Một đại số nguyên tố trên một trƣờng có thể nhúng vào trong đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nó nhƣ là một order phải và trái trong đại số. Kết quả này đã đƣợc Amitsur tổng quát hóa cho các đại số trên các vành. Việc chứng minh các kết quả này dựa trên cơ sở định lý của Goldie, cho chúng ta thấy đƣợc nét đặc trƣng về các vành, trong đó có các vành thƣơng, vành đơn Artinian. Rowen là ngƣời có công lao không nhỏ để làm sáng tỏ điều này và đã chỉ ra một hình ảnh rõ nét về vành thƣơng. Điều này chứng tỏ rằng tâm của vành thƣơng là trƣờng các thƣơng của tâm của các vành nguyên tố, vấn đề này đã thụ hút sự chú ý của một số ngƣời nhƣ Small, Martindale . . .và có lẽ nhiều ngƣời khác nữa. Tất cả đều sử dạng đa thức của Formanek. Lý thuyết về các đại số nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức chắc chắn rằng không còn cách xây dựng nào khác đơn giản hơn thế nữa. Ví dụ nhƣ Bergman và Rowen đã độc lập xây dựng đƣợc những đại số mà không là các order trong bất kỳ đại số nào.