Trong phần này ta vẫn kí hiệu K là vành giao hoán có đơn vị 1, A là đại số trên K, nếu như không có tính chất gì đặc biệt .
3.2.1. Một số định nghĩa:
* Một đại số A được gọi là nữ nếu mọi phần tử của Ả đều lũy linh.
* Một đại số A được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tại số nguyên m sao cho Am = (0) . Như vậy đại số A lũy linh
* Đại số A được gọi là lũy linh địa phương (locally nilpotent) nếu mọi tập con hữu hạn của A đều sinh ra đại số con lũy linh.
* Một ideal phải (trái, hai phía) được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một ideal vhải (trái, hai phía) lũy linh.
* Nil-ideal tối đại của đại số A được gọi là upper nil-radical của A, kí hiệu unA.
* Idela lũy linh địa phương, tối đại của đại số A được gọi là Levitzki nil-radical của A, kí hiệu L(A).
Từ các khái niệm trên ta dễ dàng suy ra kết quả sau:
3.2.2 Định lý: Đại số con và ảnh đồng cấu của đại số nil cũng là một đại số nil.
Nếu B là ideal của đại số A sao cho B và A/B là các nil, thì A cũng là nil.
3.2.3. Định lý: Nếu N1 và N2 là các nil -ideal của đại số A thì N1 + N2 là nil-ideal của đại số A.
Chứng minh: Hiển nhiên ta có N2 là ideal của N1 + N2 , đồng thời N2 và N1 / (N1 ∩ N2) là các nil. Mặt khác (N1 + N2)/ N2 ≅ N1 / (N1 ∩ N2). Suy ra (N1 + N2)/ N2 là nil. Nhƣ vậy theo bổ đề trên ta có (N1 + N2) là nil-ideal.
nil- ideal.
3.2.4. Định lý: Nếu {Ni} là tập các nil-ideal của đại số A thì ΣNi là nil-ideal của đại số A.
3.2.5. Định lý: Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số A, chứa mọi nil-ideal của
đại số A. Tồn tại duy nhất một ideal tối đại lũy linh địa phương của đại số A, chứa mọi ideal một phía lũy linh địa phương.
Chứng minh: * Nếu {Ni}i∈ N là tập các nil-ideal của đại số A, áp dụng bổ đề Zorn thì ta có một nil-ideal tối đại L của đại số A. Với M là một nil-ideal bất kỳ của đại số A. Theo bổ đề 3.3.3 ta có M + L là một nil-ideal của đại số A và do L tối đại nên M + L = L. Nhƣ vậy M ⊂ L.
* Giả sử L là ideal lũy linh địa phƣơng tôi đại và ĩ là ideal trái lũy linh địa phƣơng bất kỳ của đại số A, thì hiển nhiên I + IA là ideal của A. Bây giờ ta chứng minh I + IA là ideal lũy linh địa phƣơng của A. Thật vậy, giả sử T = {b1; b2; . . . ; bn} là tập hữu hạn bất kỳ của I + IA và ta viết mỗi bị dƣới dạng : trong đó ci, cij∈ I và aij∈ A . Xét tập hữu hạn S = {ci; cij; aij ck; aij ckl} ⇒ S ⊂ I, do đó tồn tại số tự nhiên m sao cho tích của m phần tử bất kỳ thuộc s bằng 0. Nhƣ vậy tích của r phần.tử bất kỳ của tập T có dạng
Ta thấy rằng khi triển khai vế phải của đẳng thức (*), nó chính là một tổng mà mỗi hạng tử là tích của r phần tử thuộc s hoặc là tích bên phải của r phần tử thuộc s với phần tử thuộc A. Do đó tích của m phần tử dạng (*) cũng phải bằng 0 và ta có I + IA là lũy linh địa phƣơng ⇒ I + IA ⊂ L ⇒ I ⊂ L (đpcm).
Từ kết quả đƣợc trình bày ở nội dung thứ 2 của định lý 3.2.5, Kothe là ngƣời đầu tiên đã đặt ra vấn đề nhƣ sau: Một upper nil-radical có chứa hay không tất cả các nil-ideal một phía. Tuy nhiên một điều khẳng định là điều đó không đúng cho tổng tất cả các ideal lũy linh và ta cũng có kết quả: Tổng tất cả các ideal lũy linh là ideal lũy linh. Ta kí hiệu N(0) là tổng tất cả các ideal lũy linh của A.
Giả sử K{X} là đại số tự do sinh bởi x1 , x2, . . , xn, . . . và K{X}' Là ideal của K{X} sinh bởi các xi . Khi đó K{X}' là tập tất cả các phần tử của K{X} có hạng tử tự do bằng 0. K{X}' là đại số tự do của phạm trù các đại số không có đơn vị. Giả sử A là đại số không có đơn vị và {ai}, với 0 < i < ∞ , là dãy các phần tử của A, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu biến xi ⟼ ai với mọi i. Nếu f = f(x1, x2, . . , xm) ∈ K{X}' thì f là đồng nhất thức của A nếu f(a1, . . , am) = 0 với mọi ai
∈ A. Nếu f ∈ K{X} là đồng nhất thức của A và đặt ai = 0 ta có f ∈ K{X}’ .
Nếu f ∈ K{X}’ đƣợc gọi là chính quy mạnh nếu f ≠ 0 và các hệ tử khác 0 của f là các phần tử khả nghịch của K.
Nếu f là đồng nhất thức chính quy mạnh của A thì f cũng là đồng nhất thức của mọi đại số con và ảnh đồng cấu của A.
Nếu A thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh f thì A cũng thỏa mãn một đồng nhất thức đa tuyến tính có bậc không vƣợt quá bậc của f.
3.2.6. Định lý: Đại số A là nil thỏa mãn một đồng nhất thức chính quy thì A là lũy linh địa phương.
Chứng minh: Đại số A là nil thỏa mãn một đồng nhất thức chính quy f, ta có thể giả thiết f là đa tuyến tính và L là Levitzki nil Radical của A. Ta phải chứng tỏ rằng A = L hay A/L = (0).Theo định lý II.2.4 ta chỉ cần
chứng minh A chứa một ideal trái lũy linh địa phƣơng I ≠ 0 là đủ.
Chọn phần tử a ∈ A, a ≠ 0 mà a2 = 0. Nếu Aa = 0 thì cái linh hóa tử phải của A khác 0 và nó là ideal lũy linh. Do đó ta có điều phải chứng minh. Nhƣ vậy ta có thể giả sử Aa ≠ 0 và tiếp tục chứng minh ideal trái Aa này là ideal lũy linh địa phƣơng. Viết f(x1,x2,...xm) dƣới dạng sau: f(x1,x2,...xm) = x1f1(x2,....xm) + f2 (x1,x2,...xm) trong đó các đơn thức của f2 không phải bắt đầu bằng x1. Ta giả sử f1(x2,....xm) khác 0, nhƣ vậy degf1 = m-1 và f1 là đa thức chính quy. Nếu thế x1 bởi a và xi bởi ai ∈ Aa vào f, ta thu đƣợc af1(a2 , . ., am) = 0, vì mỗi hạng tử của f2(a1 , . ., am) chứa một nhân tử dạng (ba)a = 0. Điều này chứng tỏ rằng với mọi ai∈ Aa thì f1 (a2,...am) là linh hóa tử của mỗi phần tử thuộc Aa về phía bên phải, nhƣ vậy nếu gọi z là linh hóa tử phải của Aa trong Aa thì Aa/ z thỏa mãn đồng nhất thức chính quy f1 có bậc bằng m-1. sử dụng phép quy nạp theo bậc ta giả thiết rằng Aa/ z là lũy linh địa phƣơng. Do đó Z2 = 0 kéo theo Aa là lũy linh địa phƣơng.
3.2.7. Định lý: Giả sử A là đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính quy có bậc d, thì bất kỳ
nil đại số con B của A đều thỏa B[d/2]⊂ N(0), trong đó N(0) là tổng các ideal lũy linh của A.
Chứng minh: Trƣớc hết ta giả thiết rằng B là lũy linh. Khi đó đối với bất kỳ số nguyên dƣơng n ta định nghĩa:
Đối với h ≤ 2n ta có: U1U2... Uh = (Bn -1 A)h B[d/2] (21) và với ∀i > k ta cũng có UjUk ⊂
ABnA (22). Giả sử n là số nguyên dƣơng nhỏ nhất sao cho ABnA là lũy linh. Do B là lũy linh nên n luôn tồn tại. Vì A thỏa mãn đồng nhất thức chính quy f có bậc d, ta có thể giả sử đồng nhất thức này
là đa tuyến tính và ta chia f cho một phần tử khả nghịch của K để đƣa f về dạng sau:
Bây giờ giả sử n > [d/2] ⇒ 2n > d và ta chọn h = d. Thế xi = ui ∈ Ui vào (23) ta có : và từ (21) & (22) ⇒ (Bn-1A)d B[d/2] ⊂ ABn A
⇒ (ABn-1 A)d+1⊂ ABn A ⇒ ABn-1 A là lũy linh. Điều này trái với cách chọn của n ⇒ n [d/2] ⇒
AB[d/2] lũy linh. Nhƣ vậy là ideal lũy linh của A ⇒ B[d/2] + B[d/2] + A + AB[d/2] + AB[d/2] A ⊂ N(0) ⇒ B[d/2] ⊂ N(0).
Bây giờ ta giả sử B là nil. Thì B là lũy linh địa phƣơng. Giả sử dãy các phần tử dãy các phần tử b1, b2 ,..., b[d/2] ∈ B, thì đại số con B0 sinh bởi các bi là đại số con lũy linh, nên ta có B0[d/2]⊂ N (0) Vậy B[d/2]⊂ N(0).
Trên đây ta đã có được những kết quả quan trọng trên lớp PI đại sô không có đơn vị làm cơ sở cho các kết quả chính của phần này.
Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm có liên quan.
Địa phƣơng hóa: Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị, s là nửa nhóm con của nửa nhóm
nhân K và A là một K-module.
Trên tập hợp (S,A) = {(s,x) /s ∈ S, x ∈ A} ta xác định quan hệ hai ngôi ≈ như sau:
Khi đó quan hệ - là một quan hệ tương đương.
Ta ký hiệu tập thương là As và lớp tương đương của phần tử (s, x) là s-1x. Như vậy As ={ s-1x/ s ∈ S, x ∈ A}. Trên tập As ta định nghĩa các phép toán cộng và phép toán nhân như sau:
Các định nghĩa này là các định nghĩa tốt và cho ta AS là một K-module, ta gọi AS là địa phƣơng hoa của A tại s.
* Ta có đồng cấu vS : A → AS x ⟼ 1-1x Khi đó ta có
* Giả sử A. là nguyên tố, C là tâm của A và c ∈ C, c ≠ 0. Thì cA = Ac là ideal khác 0 và linh hóa trái của nó cũng là linh hóa của C. Vì A là nguyên tố nên linh hóa phải bằng 0. Như vậy mọi phần tử khác 0 của c là phần tử chính quỵ, c là một miền nguyên. Nếu s là nửa nhóm con của nhóm nhân C và 0 ∉ S, thì ta có phép nhúng chính tắc vS : A → AS
x ⟼ 1-1x
Trong trường hợp S = C - {0} thì ta kí hiệu A0 . Nếu F là trường các thương của miền nguyên C thì A0 = AF ( F K A).
3.2.8. Định lý: Nếu A là vành nguyên tố và S là nửa nhóm con của nhóm nhân C không
chứa phần tử 0 thì AS là nguyên tố.
Chứng minh: Giả sử s-1x, t-1a, u-1y ∈ AS sao cho (s-1x) (t-1a) (u-1y) = 0 ⇒ (uts)-1 (xay) = 0
⇒ xay =0 ⇒ x = 0 hoặc y = 0 ⇒ s-1x = 0 hoặc u-1y =0. Do đó AS là nguyên tố.
3.2.9. Định lý (Amitsur): Giả sử A là đại số nguyên tố có đồng nhất thức thực sự f có bậc
n. Thì A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2[n/2].
Chứng minh: Ta có thể xem A nhƣ là một đại số trên tâm c của nó. Nếu k ∈ K ⇒ k1 ∈ C và ka = (k1)a. Thay thế các hệ số k của f bởi k1 ta thu đƣợc một đồng nhất thức thực sự f0 ≠ 0 của đại số A trên tâm C của
nó. Do đó f0 là đồng nhất thức của F F A = A0 = AF trên trƣờng F. Nhƣ vậy A0 thỏa mãn một đồng nhất thức chính quy. Theo định lý 3.2.8 suy ra A0 là nguyên tố, nên A0 không có nil-ideal = 0. Bởi vậy A0 [λ] là nửa nguyên thủy. Ta có thể giả thiết rằng f và f0 là đa tuyến tính, khi đó A0 [λ] thỏa mãn một đồng nhất thức khác 0 bậc n. Nếu p là ideal nguyên thủy của A0 [λ], thì A0 [λ]/P là đại số nguyên thủy trên một trƣờng thỏa mãn một đồng nhất thức khác 0 có bậc n. Theo định lý Kaplanski-Amitsur-Levitzki thì S2[n/2] là đồng nhất thức của A0 [λ]/P. Nếu ta chọn dãy các phần tử a1, a2,... a2[n/2] ∈ A0 [λ] thì S2[n/2] (a1, a2,... a2[n/2] ) ∈ P. Do ∩ P = 0 nên S2[n/2] (a1, a2,... a2[n/2] ) = 0 với mọi ai ∈ A0 [λ]. Do A nhúng đƣợc vào A0 [λ], nên A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2[n/ 2].
3.2.10. Định lý: Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn một đồng nhất thức thực sự. Thì A không chứa nil-ideal khác không.
Chứng minh: Trong trƣờng hợp này ta chỉ cần chứng minh kết quả đúng cho A đại số nguyên tố là đủ. Thật vậy, vì A là đại số nguyên tố thỏa mãn một đồng nhất thức thực sự, theo định lý 3.2.9 thì A thỏa mãn một đa thức chuẩn, mà đa thức này là chính quy mạnh. Giả sử ngƣợc lại A chứa một nil-ideal ≠ 0, theo định lý 3.2.7 thì nó phải chứa ideal lũy linh ≠ 0, điều này mâu thuẫn với tính chất nguyên thủy.
3.2.11. Định lý (Rowen) : Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn các đồng nhất thức thực sự có bậc bị chặn. Thì mọi ideal I ≠ 0 của A giao với tâm C khác 0.
Chứng minh: Từ giả thiết đầu của định lý ta suy ra A là nửa nguyên thủy và thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2n. Nếu p là iđeal nguyên tố thì
A/P là đơn tâm có số chiều ≤ d2
trên tâm của nó. Mặt khác (I+P)/P là ideal của A/P nhƣ thế hoặc (I+P)/P = A hoặc I ⊂ P. Do I ≠ 0 và ∩ P = 0 nên tồn tại P sao cho I+P = A. Trong số các ideal này ta chọn P0 sao cho bậc n0 của A/P0 là lớn nhất. Giả sử q là đa thức tâm có hạng tử tự do bằng 0 của Mn0 (K) (ví dụ đa thức của Formanek). Khi đó q là đồng nhất thức đối với mọi đại số nguyên thủy có bậc n ≤ n0 và q là đa thức tâm của A/ P0. Nhƣ vậy đối với bất kỳ a1,...am∈
A, thì (q(a1,..., am) + P) /P thuộc tâm của A/P . Do đó q ( a1,..., am) ≠ 0. Vì q là đa thức tâm của A/P0 và I + P0 =A nên ta có thể chon a1,..., am ∈ I. Sao cho q(a1,..., am) ∉ P0 thì q(a1,..., am) ∈ I và q(a1,..., am) ≠ 0. Vậy C ∩ I ≠ 0.
Hệ quả: Giả sử đại số A thỏa mãn các giả thiết của định lý trên và tâm c của nó là một
trường, thì A là đại số đơn.
Chứng minh: Nếu I ≠ 0 là ideal của A thì C≠ 0. Vì C ∩ I ≠ 0 là ideal của C, do đó C ∩ I = C ( do c là một trƣờng ) ⇒ phần tử đơn vị 1∈ I ⇒ I = A. Vậy A là đại số đơn.
Để kết thúc việc mở rộng các kết quả của định lý Kaplansky-Amừsur trên lớp PI.đại không có nil-ideal khác 0, ta có định lý sau đây:
3.2.12. Định lý: Giả sử A là đại số không có nil-ideal khác 0, thỏa mãn một đồng nhất
thức chính quy mạnh, thì A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn.
Chứng minh: Do A không có nil-ideal khác (0). Nhƣ vậy A là tổng trực tiếp con của các vành nguyên tố Aα . Ta có thể xem mỗi Aa là ảnh đồng cấu của đại số con nào đó của A, do đó mỗi Aα đều thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh f của A. Nếu f có bậc là d thì theo định lý 3.2.9
(Amitsur) suy ra mỗi Aα đều thoa mãn đồng nhất thức chuẩn và có số chiều không vƣợt [d/2]2 trên tâm Zα của nó.
Đặt k = dim Zα (Aα ) ≤ [d/2]2 , do đó ta có thể nhúng Aα vào vành ma trận (Zα)k bởi phép nhúng j : Aα → (Zα)k
Nhƣ vậy sẽ tồn tại số tự nhiên m sao cho mọi Aα ⊂ (Zα)m . Đặt thì ta có A ⊂
Bm. Mà Bm thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2m, do đó A cũng thỏa mãn S2m .
Như vậy theo kết quả trên đây, ta đã giải quyết trọn vẹn các vấn đề đã được đặt ra từ đầu, đó là việc mở rộng kết quả của định lý Kaplansky-Amitsur trên lớp PI.đại số không có nil- ideal khác 0. Đồng thời ta cũng thấy lớp PI.đại số nguyên tố này có 2 tính chất đặc trưng sau đây:
1/ Thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn S2n .
2/ Mọi ideal khác ồ giao với tâm luôn luôn khác 0 (định lý Rowen).
Lần theo hướng mở rộng trên, ta có một vấn đề tự nhiên được đặt ra là:Lớp PI.đại số không chứa ideal lũy linh khác 0 (tất nhiên lớp PI.đại số này bao hàm lớp PI.đại số không có nil- ideal khác 0), còn có 2 tính chất như trên nữa không?Câu trả lời khẳng định sẽ được trình bày trong mục 3 sau đây: