Mục đích chính của nội dung phần này, nhằm khảo sát đặc điểm đặc biệt về cấu trúc của lớp vành không có nil-ideal khác 0 mà đã được giới thiệu một cách khái quát ở trên.
3.1.1 Định lý: Giả sử vành R không có ideal lũy linh = (0) và p là ideal tối tiểu của R, ρ ≠
(0) thì ρ = eR với e là phần tử lũy đẳng của R.
Chứng minh: Do ρ -ideal không lũy linh ⇒ ρ2
≠ (0) ⇒ ∃x ∈ ρ: xρ ≠ (0) ⇒ xρ -ideal phải của R và xρ ⊂ ρ. Do ρ -ideal tối tiểu ⇒ xρ = ρ ⇒ ∃e ∈ ρ : xe = x ⇒ xe2 = xe ⇒ x(e2 - e) = 0.
Đặt ρ0 = {a ∈ ρ \ xa = 0} ⇒ ρ0 - ideal phải của R và ρ0 ∅ ρ. Từ tính tối thiểu của ρ suy ra ρ0 = (0). Do x(e2 - e) = 0, nên e2 - e ∈ ρ0 ⇒ e2 - e =0 ⇒ e2 = e. Từ xe = x và x ≠ 0 ⇒ e ≠ 0 và e ∈
eR ⊆ ρ (vì e ∈ ρ). Nhƣ vậy eR là ideal phải khác không của R chứa trong ideal tối tiểu ρ, nên ρ = eR hay ρ sinh bởi phần tử lũy đẳng e.
3.1.2.Định lý: Giả sử vành R không có ideal lũy linh khác 0 và e ≠ 0 là phần tử lũy đẳng
Chứng minh: (⇒) Nếu p = eR là ideal tối tiểu của R. Với a ∈ R và eae ≠ 0 ⇒ eae ∈ eRe ⇒
eaeR ≠ (0) và eaeR ⊆ eR ⇒ eaeR = eR (do eR ideal tối tiểu) ⇒ ∃y ∈ R: eaey = e ⇒ eaeye = e2 = e ⇒ (eae) (eye) = e ⇒ eye là nghịch phải của eae. Nhƣ vậy mọi phần tử của eRe đều có nghịch phải, nên eRe là một thể có đơn vị là e.
(⇐) Nếu eRe là một thể, ta chứng minh eR là ideal tối tiểu của R.
Thật vậy, giả sử eR không phải là ideal tối tiểu của R, tức là tồn tại ideal ρ0 ≠ (0) của R sao cho ρ0 ⊂ eR ⇒ ρ0 e ≠ (0) (vì nếu ngƣợc lại ρ0 e = (0) ⇒ ρ02⊂ ρ0 (eR) = (ρ0 e)R = 0 (!), mâu thuẩn với giả thiết R không có ideal lũy linh khác (0)). Do đó ∃x ∈ ρ0 sao cho xe ≠ 0. Mặt khác ta có x ∈ eR ( vì x ∈ ρ0 ⊂ eR) ⇒ ∃u ∈ R: x = eu. Đặt a = eue ∈ eRe ⇒ a = xe ≠ 0 và a ∈ ρ0 (vì x ∈
ρ0). Do đó a ∈ ρ0 ∩ eRe ⇒ ∃a-1∈ eRe ( vì eRe là một thể) sao cho aa-1 = e ⇒ e ∈ ρ0 ( vì a ∈ ρ0)
⇒ eR ⊂ ρ0 ⇒ ρ0 = eR. Nhƣ vậy eR là ideal tối tiểu của R.
3.1.3.Định lý: Nếu R là vành nửa đơn Artin và p là ideal phải khác không của R thì ρ =
eR, trong đó e là phần tử lũy đẳng của R.
Chứng minh: Do R là vành nửa đơn Artin và p là ideal phải khác không của R không phải là ideal lũy linh. Theo định lý 3.1.1 thì tồn tại phần tử lũy đẳng e ≠ 0 , e ∈ ρ. Đặt Ae = {x∈ ρ \ex = 0 }. Khi đó Ae là ideal của R. Do R là Artin ⇒ tập { Ae /e2 = e ≠ 0 ∈ ρ} có phần tử nhỏ nhất là Ae0 . Nếu Ae0 = ( 0) thì ∀x ∈ ρ, e0(x - e0x) = 0 ⇒ x - e0x ∈ Ae0 = (0) ⇒ x - e0x = 0. Suy ra x = e0x
⇒ ρ ⊂ e0ρ ⊂ e0R ⊂ ρ ⇒ ρ = e0ρ ⇒ e ∈ ρ. Ta sẽ chứng minh không xảy ra trƣờng hợp Ae0 ≠ (0). Thật vậy, nếu Ae0 ≠ (0) thì hiển nhiên ta có Ae0 ideal không lũy linh nên nó phải chứa phần tử lũy đẳng
e1 ≠ 0. Theo định nghĩa tập Ae0 thì e1 ∈ ρ và e0e1 = 0.
Đặt e* = e0 + e1 - e0e1∈ ρ và e* là phần tử lũy linh, hơn nữa e*e1 = (e0 + e1 e0e1)e1 = e1 ≠ 0. Nếu x ∈ Ae* thì e*x = 0 ⇒ (e0 + e1 - e0e1)x = 0 ⇒ e0(e0 + e1 - e0e1)x = 0 ⇒ e0x = 0 ⇒ x ∈ Ae0. Vậy Ae* ⊂ Ae0 (1). Mặt khác, vì e1∈ Ae0 và e1∉ Ae* ⇒ Ae0 ≠ Ae* (!).Mâu thuẫn với (1). Tóm lại chỉ có một trƣờng hợp xảy Ae0 = (0). ( Chú ý rằng: e1 ∉ Ae* vì trái lại e1 ∈ Ae* thì e* e1 = 0(!)).
Hệ quả: Giả sử R là vành nửa đơn và A là ideal của R thì A = eR = Re và e là phần tử lũy đẳng nằm trong tâm của R.
Chứng minh: Vì A là ideal phải của R, theo định lý trên suy ra A = eR với e là phần tử lũy đẳng của R. Đặt B = {x -xe \ x ∈ A }. Do x = ex, ∀x ∈ A ⇒ Be = (0), nhƣ thế BA = BeR = (Be)R = (0). Hơn nữa A là ideal trái của R nên B là ideal trái của R và B2 ⊂ BA= (0) ⇒ B2 = (0)
⇒ B = (0) ⇒ x = xe ∀x ∈ A ⇒ A = Re . Điều này chứng tỏ e là đơn vị phải và trái của A. Bây ta chứng minh e thuộc tâm của R. Thật vậy, với mọi y ∈ R ⇒ ye ∈ A vì ye = e(ye) (do e là đơn vị của A) và tƣơng tự ta cũng có ey ∈ A ⇒ ye = (ey)e. Nhƣ vậy cả 2 trƣờng hợp ta có ye = eye = ey với ∀y ∈ R ⇒ e ∈ tâm của R.
3.1.4.Định lý: Giả sử R là vành không có nil-ideal khác (0), thì R là tổng trực tiếp con của các vành nguyên tố.
Chứng minh: Giả sử a ∈ R, a ≠ 0 không phải là phần tử lũy linh, gọi Wa là ideal của R lớn nhất nhất không chứa các phần tử có dạng an với ∀n ∈ N. Nếu A, B là các ideal của R sao cho AB ⊂ Wa và A ⊄ Wa , B ⊄ Wa . Khi đó ta có Wa là bộ phận thực sự của Wa + A và Wa + B nên
sao cho an1 ∈ Wa + A , an2∈ Wa + B do đó an1 +n2 ∈ (Wa + A) (Wa + B) ⊂ Wa + AB ⊂ Wa (!).Điều này mâu thuần với giả thiết đối với wa. Nhƣ vậy wa là ideal nguyên tố và Ra = R/Wa là vành nguyên tố. Bây giờ ta cho a chạy khắp tập hợp các phần tử không lũy linh của R,ta đƣợc ∩ Wa là một nil-ideal của R, do đó ∩ Wa = (0).
Vậy R là tổng trực tiếp con của các vành nguyên tố.
3.1.5.Định lý: Nếu R là vành không có nữ - ideal khác không, thì R[t] là vành (đa thức)
nửa đơn.
Trƣớc hết ta chứng minh 2 bổ đề sau:
Bổ đề 1: Giả sử R là vành giao hoán và N là giao của tất cả các ideal nguyên tố của R,
thì N là nil-ideal.
Chứng minh: Với a ∈ R và gọi Pa là ideal của R lớn nhất sao cho Pa ∩ {an \ n ∈ N} = ∅ . Theo bổ đề Zorn thì Pa luôn tồn tại. Ta sẽ chứng minh pa là ideal nguyên tố. Thật vậy, nếu xy ∈
Pa và sử x và y đều không thuộc Pa . Khi đó các ideal Pa + Rx và Pa + Ry chứa thực sử Pa, do đó tồn tại hai số tự nhiên n, m sao cho an∈ Pa + Rx và am∈ Pa + Ry ⇒ an+m ∈ (Pa + Rx) (Pa + Ry) ⊂ Pa + Rxy ⊂ Pa (!) mâu thuẫn với giả thiết đối với Pa.Vậy Pa là ideal nguyên tố. Bây giờ ta cho a chạy khắp tập hợp các phần tử không lũy linh của R, khi đó N = ∩ Pa là nil-ideal.
Bổ đề 2: Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị, nếu a0 +a1t+...+antn ∈ R[t] khả nghịch trong R[t], thì a0 do là khả nghịch trong R và a1 , . . . , an là các phần tử lũy linh.
Chứng minh: Vì f = a0 + a1t +...+ antn khả nghịch trong R[t] nên tồn tại g = b0 + b1t +...+ bmtm∈ R[t] sao cho fg = 1.
Nhƣ vậy:
Từ (1) ⇒ a0 là phần tử khả nghịch. Từ(2) ⇒
Từ (3) & (4) ⇒ an2 bm-1 = 0. Giả sử công thức anr bm-r+1 = 0 đúng cho r - 1, với 0 ≤ r ≤ m. Ta chứng minh công thức anr+1 bm-r = 0 đúng cho r. Thật vậy, theo (2) ta có: anbm-r + an-1bm-r+1 + ... + an-rbm = 0. Nhân 2 vế đẳng thức với anr ta suy : Theo giả thiết quy nạp ta có anr+1 bm-r = 0. Vậy công thức anr+1 bm-r = 0 đúng cho mọi r ∈
{0;1;2;....;m}. Ta chọn r = m anm+1 b0 = 0 (5). Từ (1) & (5) ⇒ a0anm+1 = 0 ⇒ anm+1 = 0 ⇒ an là phần tử lũy linh ⇒ antn là phần tử lũy linh ⇒ f - antn = a0 + a1t +...+ an-1tn-1 cũng là phần tử khả nghịch trong R. Lặp lại các bƣớc chứng minh trên ta có an-1 là phần tử lũy linh. Quá trình trên cứ lặp lại cuối cùng cho ta kết quả a1, a2,.. . , an là các phần tử lũy linh.
Chứng minh định lý: Đặt J là Radical của R[t] và giả sử J ≠ (0) ⇒ ∃r ∈ J, r ≠0 và ta viết r dƣới với n0 < n1 < n2 < . . . < nk , ta có thể giả thiết rằng r có độ dài nhỏ nhất (độ dài của r ta định nghĩa bằng số hệ số khác 0 của nó). Ta có air - rai ∈ J và qua tính toán đơn giản suy ra độ dài của air - rai bé hơn độ dài của r, do đó air - rai = 0 ⇒ aiaj = ajai với ∀i,j ∈ {0,1,2,..,k}. Vì r ∈ J ⇒ rt ∈ J ⇒ rt là phần tử tựa chính quy phải , do đó ∃s ∈ J sao cho rt + s + rst = 0 ⇒ r = - rt - rst = - rt - ( - rt - rst)t = vrt + r2t2 + r2st2. Cứ tiếp tục thay s = -rt - rst vào công thức trên đến lần thứ n ta có:
Chọn n đủ lớn vƣợt bậc của s (s là một đa thức theo biến t) ta thấy rằng bất kỳ hệ tử nào của s cũng không phải là hệ tử của hạng tử rnstn. Điều này kéo các hệ tử của s chỉ có thể lấy trong tập {1, a0, a1, . . , ak}. Đặt R0 = < (1, a0, a1, . . , ak) > là vành sinh bởi các phần tử 1, a0, a1, . , ak . Khi đó rt và s đều thuộc R0[t]. Theo kết quả trên ta có ai giao hoán đƣợc với mọi phần tử sinh của R0, do đó R0 là vành giao hoán.
Mặt khác ta có (1 + rt)(1 + s) = 1 ⇒ 1 + rt phần tử khả nghịch trong R0[t], nên theo bổ đề 2 suy ra a0, a1, . ., ak là các phần tử lũy linh.
Đặt
Thì U là ideal của R chứa a0 nên U ≠ (0), theo kết quả trên suy ra các phần tử của U đều lũy linh ⇒ U là nil-ideal khác (0) của R (!). Điều này mâu thuần với giả thiết của định lý. Vậy J = (0) hay R[t] là vành đơn.
Nhân xét: Qua một số kết quả trên cho chúng ta thấy nét đặc thù về cấu trúc của lớp vành không có nil-ideal khác không: Lớp vành này có cấu trúc "tựa như" cấu trúc của lớp vành chính và nó có quan hệ mật thiết với lớp vành đơn.
Bây giờ ta trở lại nội dung mà ta đã đề cập ở ban đầu, tức là mở rộng dần kết quả định lý Kaplansky-Amitsur trên lớp PI.đại số không có nil-ideal khác 0. Nội dung của mục thứ 2 sau đây sẽ chứng minh kết quả định lý Kaplansky-Amitsur trên lớp PI.đại số nguyên tố trên vành giao hoán có đơn vị, tuy nhiên lớp PI.đại số này vẫn còn nằm trong lớp PI.đại số không có nil-ideal khác 0.