I/. Cỏc Kiến thức cần nhớ :
+ Hỡnh đa diện cú hai mặt là hai đa giỏc nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đỏy tất cả cỏc cạnh khụng thuộc hai đỏy song song với nhau.
+ Trong hỡnh lăng trụ:
• Cỏc cạnh bờn song song và bằng nhau.
• Cỏc mặt bờn và mặt chộo là những hỡnh bỡnh hành.
• Hai đỏy là hai đa giỏc cú cỏc cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
+ Lăng trụ cú cỏc cạnh bờn vuụng gúc với đỏy được gọi là lăng trụ đứng - cỏc mặt bờn của lăng trụ đứng là hỡnh chữ nhật.
+ Lăng trụ đứng cú đỏy là đa giỏc đều được gọi là lăng trụ đều - cỏc mặt bờn của hỡnh lăng trụ đều là cỏc hỡnh chữ nhật bằng nhau.
+ Lăng trụ cú đỏy là hỡnh bỡnh hành được gọi là hỡnh hộp. Hỡnh hộp cú tất cả 6 mặt là hỡnh bỡnh hành.
+ Lăng trụ đứng cú đỏy là hỡnh chữ nhật gọi là hỡnh hộp chữ nhật. Cỏc mặt của hỡnh hộp chữ nhật đều là hỡnh chữ nhật.
+ Hỡnh lập phương : Là trường hợp đặc biệt của hỡnh hộp chữ nhật khi tất cả cỏc mặt của nú đều là hỡnh vuụng.
+ Cỏc cụng thức Lăng trụ.
II. Cỏc bài tập
Vớ dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B. Gọi M là trung điểm của A’C, H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn A’B. Cho AA’=AC=2a, BC=a.
a) Tớnh thể tớch của lăng trụ ABC.A’B’C’.
b) Chứng minh rằng cỏc điểm A, B, C, M, H cựng nằm trờn mặt cầu. Tớnh thể tớch khối cầu đú.
c) Tớnh thể tớch khối đa diện ABCMH.
Giải: a) Tam giỏc ABC vuụng tại B nờn
.
H=AA’=2a
Tam giỏc A’AC vuụng cõn tại A cú M là trung điểm nờn AM⊥MC (1) BC⊥AB; BC⊥AA’ ⇒BC⊥(A’AB) suy ra BC⊥AH
Mặt khỏc tam giỏc ABC vuụng tại B nờn AB⊥BC (3)
Từ (1) (2) (3) ta được B,H,M đều nhỡn đoạn AC dưới một gúc vuụng hay cỏc điểm
A,B,C,M,H nằm trờn mặt cầu đường kớnh AC,tõm mặt cầu là trung điểm AC, bỏn kớnh mặt cầu là R=AC/2=a
Suy ra
Vớ dụ2: (Lăng trụ xiờn)
Cho lăng trụ xiờn ABC.A’B’C’, đỏy là tam giỏc đều cú tõm là O cạnh a và A’A = A’B = A’C = a
1/ Chứng tỏ A’O là đường cao của lăng trụ.
2/ Chứng minh rằng mặt bờn BCC’B’ là hỡnh vuụng. 3/ Tớnh thể tớch và diện tớch toàn phần lăng trụ theo a.
4/ Tớnh gúc hợp bởi mặt bờn (ABB’A’) và mặt đỏy của lăng trụ .
Giải:
Do A’A=A’B=A’C=b nờn A’ nằm trờn trục đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, vỡ tam giỏc ABC đều nờn A’O là đường cao của lăng trụ với O là tõm
đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Ta cú BC⊥AO (đường cao tam giỏc đều) A’O⊥BC ( A’O là đường cao lăng trụ) ⇒ BC⊥(A’AO) ⇒ BC⊥AA’ Do AA’//BB’ nờn BC⊥BB’ o A B B' C' A' A' B' C' A B C H M
Mặt khỏc AA’=BB’=BC=a nờn BB’C’C là hỡnh vuụng. Xột tam giỏc AOA’ vuụng tại O
Gọi M là trung điểm AB ta cú AM ⊥AB (tam giỏc A’AB đều)
CM⊥AB( tam giỏc ABC đều) ⇒ gúc A’MC là gúc hợp bởi mặt bờn ABB’A’ với đỏy
Cỏc bài tập
Bài 1: Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại A, BC = 6 và . Biết độ dài cạnh bờn của lăng trụ bằng 4, hóy tớnh thể tớch của lăng trụ.
Bài 2: Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. AC’=2a. Tớnh thể tớch của lăng trụ .
Bài 3: Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’D’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh bằng 6; H là trung điểm của B’C’, gúc hợp bởi AH và (A’B’C’) bằng 60°. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ.
Bài 4: Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tõm của tam giỏc A’B’C’. Biết rằng O’ là hỡnh chiếu của B lờn (A’B’C’) và cạnh bờn của lăng trụ bằng 15. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 5: Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ gúc hợp bởi cạnh bờn và mặt đỏy bằng . Biết rằng tam giỏc A’B’C’ vuụng tại B’; A’B’=3, B’C’= 4 . B’H’ là đường cao của tam giỏc A’B’C’ và H’ là hỡnh chiếu của điểm B lờn (A’B’C’). Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, cạnh bờn cú độ dài a. Hỡnh chiếu của A’ lờn mp(ABC) trựng với trung điểm M của cạnh BC.
1/ Tớnh thể tớch hỡnh chúp.
2/ Chứng tỏ rằng BCB’C’ là hỡnh vuụng. 3/ Tớnh gúc hợp bởi cạnh bờn và mặt đỏy . 4/ Tớnh diện tớch xung quanh của lăng trụ.
Bài 8: Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú cạnh đỏy bằng cạnh bờn bằng 1 1/ Tớnh thể tớch lăng trụ.
2/ Tớnh diện tớch xung quanh lăng trụ.
3/ Một mặt cầu (S) ngoại tiếp lăng trụ tớnh bỏn kớnh mặt cầu.