IV. Bài tập ỏp dụng:
7. Giải toỏn sử dụng nguyờn lý ĐIRICHLấ:
a. Nội dung:
Nguyờn lý này mang tờn nhà bỏc học Đirichlờ (1805-1859) : Khụng thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng mà mỗi lồng cú khụng quỏ 2 con thỏ. Núi cỏch khỏc, nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng thỡ tồn tại một lồng cú từ 3 con thỏ trở lờn.
b. Vớ dụ:
1. Một lớp học cú 40 học sinh. Chứng minh rằng cú ớt nhất 4 học sinh cú thỏng sinh giống nhau.
Giải:
Một năm cú 12 thỏng. Ta phõn chia 40 học sinh vào 12 thỏng ấy. Nếu mỗi thỏng cú khụng quỏ 3 học sinh được sinh ra thỡ số học sinh khụng quỏ 3.12 = 36 (em) mà 36 < 40 vụ lý.
Vậy tồn tại một thỏng cú ớt nhất 4 học sinh trựng thỏng sinh (Trong bài này 40 thỏ vớ như là 40 HS, 12 lồng vớ như là 12 tờn thỏng).
………
2. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiờn k sao cho 3k tận cựng bằng 001 Giải:
Trước hết ta chứng tỏ rằng tồn tại hai lũy thừa của 3 cú cựng số dư khi chia cho 1000. Trong phộp chia cho 1000, cú 1000 số dư là 0, 1, 2,….., 999.
Ta xột 1001 số là 3, 32, 33,….., 31001 thỡ tồn tại hai số cú cựng số dư trong phộp chia cho 1000. Gọi hai số đú là 3m và 3n (1 ≤ n < m ≤ 1000).
Như vậy 3m – 3n chia hết cho 1000, do đú 3n.(3m – 1) chia hết cho 1000, suy ra 3m-1 chia hết cho 1000, tức là số 3m – n tận cựng bằng 001.
………..
3. Người ta thả 130 viờn xỳc xắc vào một bàn cờ Quốc Tế cú 64 ụ vuụng. Chứng minh rằng tồn tại 1 ụ vuụng trong bàn cờ chứa 3 viờn xỳc xắc.
Giải:
Giả sử mỗi ụ chứa khụng quỏ 2 viờn xỳc xắc thỡ 64 ụ chứa khụng quỏ 2.64 = 128 (viờn).
Mà 128 < 130. Nờn cú ớt nhất 1 ụ vuụng trong bàn cờ chứa 3 viờn xỳc xắc.
………
4. Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiờn bất kỳ, tỡm được hai số cú hiệu chia hết cho 5.
Giải:
Một số khi chia cho 5 chỉ cú 1 trong 5 số dư là 0, 1, 2, 3, 4. Ta lại cú 6 số tự nhiờn bất kỳ. Như vậy sẽ tồn tại hai số cú cựng số dư khi chia cho 5, hiệu của chỳng sẽ chia hết cho 5.
………
5. Chững minh rằng tồn tại một bội số của 1989 được viết bởi toàn cỏc chữ số 1 và 0. Giải: Xột 1990 số dạng 1, 11, 111,….., 1990 chữ số 11...11 2 3 . Chia cỏc số trờn cho 1989, số dư chỉ cú thể là 0, 1, 2, 3, 4,……,1988. Cú 1990 số mà chỉ cú 1989 số dư nờn tồn tại hai số cú cựng số dư, hiệu của chỳng chia hết cho 1989. Hiệu này gồm toàn chữ số 1 và 0.
