1. Ước số chung lớn nhất:
ƯSC: a. Khi nhiều số cựng chia đỳng cho d, thỡ ta núi d là ước số chung của cỏc số ấy.
Vớ dụ: 18 và 30 cú cỏc ước số chung là 1, 2, 3, 6. Lưu ý: 1 là ước chung của tất cả cỏc số.
b. Ước số chung lớn nhất (USCLN): Ước chung lớn nhất của nhiều số là số lớn nhất chia hết cho cỏc số ấy.
Vớ dụ: Trong cỏc ước chung của 18 và 30 : 1, 2, 3, 6 thỡ 6 là số lớn nhất nờn 6 là USCLN của 18 và 30.
Kớ hiệu: USCLN của a và b là d viết là: USCLN(a,b) = d.
2. Ước số chung lớn nhất của 2 số: (ta khảo sỏt USCLN của a và b với a > b).
a. Trường hợp chia hết: a b hay a = bqM .
- Như vậy rừ ràng US của b cũng sẽ là US của bq tức là của a.
- Ta lại thấy b cũng là một US của a như vậy b là USCLN của a và b.
* Tập hợp cỏc USC của a và b là tập hợp cỏc ước số của b. * USCLN của a và b là b.
b. Trường hợp chia khụng hết: a = bq + r hay a – bq = r
Vậy mọi US của a và b cũng là US của a và bq nờn cũng là US của a – bq = r
Mọi US của b và r tất nhiờn cũng là US của bq và r nờn cũng là US của bq + r = a.
Nờn ta cú định lý 2: Khi a khụng chia hết cho b thỡ:
* Tập hợp cỏc USC của a và b là tập hợp cỏc ước số của số dư ỏp chút rn trong phộp chia liờn tiếp theo định luật Ơ Cơ lit.
* Ước số chung lớn nhất của a và b là số dư rn.
c. Chỳ ý: Thật tớnh Ơ Cơ lit cú nội dung như sau: Khi chia hai số a và b ta được số dư r, lấy b chia cho r ta được số dư r1, lấy r chia cho r1
được số dư r2, lấy r1 chia cho r2 được số dư r3, …… Vỡ số dư nhỏ dần nờn đến lỳc nào đú số dư sẽ bằng 0. lỳc đú số dư đứng trước số dư bằng 0 trong phộp chia trờn gọi là số dư ỏp chút rn (trong định luật Ơ Cơ lit)
Vớ dụ: Tỡm USCLN của 19521 và 1357 ? * Ta cú 19521 : 1357 = 14 dư 253 1357 : 253 = 5 dư 92 253 : 92 = 2 dư 69 92 : 69 = 1 dư 23 69 : 23 = 3 dư 0 USCLN (19521, 1357) = 23 * Khi thực hành ta đặt: Thương số 14 5 2 1 3 Phộp chia 19521 1357 253 92 69 23 Số dư 253 92 69 23 0 USCLN (19521, 1357) = 23 d. Cỏch tỡm USCLN của 2 số: Cú 2 cỏch Cỏch 1:
* Nếu a chia hết cho b thỡ b là USCLN của a và b.
* Nếu a khụng chia hết cho b thỡ USCLN của a và b là số dư ỏp chút trong phộp chia a cho b trong thuật tớnh Ơ Cơ lit.
Cỏch 2: Phõn tớch hai số ra thừa số nguyờn tố rồi lấy tớch của tất cả cỏc thừa số chung. Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất trong cỏc số đó cho.
Cỏch 1: Tỡm USCLN của từng cặp số, sau đú tỡm USCLN của từng cặp đú. Vớ dụ: { { 1 2 a bc d d d d 144442 44443
Cỏch 2: Tỡm USCLN của 2 số đầu được bao nhiờu tỡm USCLN của USCLN đú với số thứ 3 ……Cho đến khi được USCLN của USCLN lần thứ n – 1 với số cuối cựng. Vớ dụ: { 1 2 3 a b c d d d d 1442 443 144442 44443 e. Tớnh chất của USCLN:
* T/c 1: Tập hợp cỏc USC của nhiều số a, b, c, d ……. là tập hợp cỏc ước số của USCLN.
* T/c 2: Khi nhõn (hay chia đỳng) nhiều số a, b, c, d …….. cho cựng một số m thỡ USCLN của chỳng cũng nhõn hay chia cho m.
* T/c 3: Điều kiện ắt cú và đủ để d là USCLN của nhiều số a, b, c, d, …. Là thương số a ; ; ; b c d
d d d d …… nguyờn tố cựng nhau.
Chỳ ý: Khi chia nhiều số a, b, c, d ….. cho USCLN của chỳng thỡ được nhiều số nguyờn tố cựng nhau.
f. Ứng dụng vào tớnh chia hết:
* Định lý 1: Nếu một số N chia hết cho nhiều số a, b, c, nguyờn tố cựng nhau thỡ N chia hết cho tớch a.b.c
Vớ dụ: N M 2 và 3 thỡ N M 6 N M 3 và 4 thỡ N M 12 N M 3 và 5 thỡ N M 15
* Định lý 2: Nếu một số N nguyờn tố với nhiều số a, b, c thỡ N nguyờn tố với a.b.c => (a và b nguyờn tố cựng nhau thỡ am và bm nguyờn tố cựng nhau.
……… ….
a. Bội số chung : Bội số chung của nhiều số là số chia hết cho cỏc số đú. Vớ dụ : 48 là BSC của 6, 12, 16.
b. Bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) : BSCNN của nhiều số là số nhỏ nhất chia hết cho cỏc số đú. (Ký hiệu là D).
4. Bội số chung nhỏ nhất của 2 số:
a. Định lý : Khi hai số A và B coc BSCNN là D và USCLN là d thỡ :
D x d = A x B
b. Cỏch tỡm BSCNN của hai số : ta làm theo 2 cỏch Cỏch 1: Dựa vào định lý trờn : D = A.B
d . Nếu d = 1 thỡ D = A.B
Cỏch 2: Phõn tớch cỏc số dố ra thừa số nguyờn tố, rồi đem nhõn tất cả cỏc thừa số nguyờn tố với nhau, mỗi thừa số với số mũ cao nhất.
Vớ dụ : / / / / / / / A = a .b .c ; B = a b c da b g a b g b ổỗa a b b g g; ; ửữ ữ ỗ ữ ỗố > > > ứ thỡ : D = / a .b .c .da b g b
c. Cỏch tỡm BSCNN cảu nhiều số : (Tương tự cỏch tỡm USCLN của nhiều số)
d. Tớnh chất của BSCNN :
* Ngoài cỏc t/c tương tự như t/c của USCLN cũn cú tớnh chất sau : Điều kiện ắt cú và đủ để D là BSCNN của nhiều số A, B, …. Là cỏc thương D D; ; ... là nguyên tố cùng nhau
A B
Chỳ ý : Khi chia BSCNN của nhiều số lần lượt cho cỏc số ấy, thỡ được nhiều số nguyờn tố cựng nhau.
5. Bài tập ỏp dụng :
1. Chứng minh rằng hai số nguyờn liờn tiếp thỡ nguyờn tố cựng nhau. Giải:
Ta cú n và n + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp => USCLN (n, n + 1) = d. Ta thấy n M d và (n + 1) M d nờn [(n + 1) – n] M d hay 1 M d Û d = 1.
Vậy (n, n + 1) = 1 nờn n và n + 1 nguyờn tố cựng nhau. ……….
2. Chứng minh rằng 2752 và 221 là hai số nguyờn tố cựng nhau. Giải:
2752 và 221 nguyờn tố cựng nhau khi USCLN của chỳng là d = 1. Vậy ta tỡm USCLN của 2752 và 221.
Theo thu t toỏn C lit ta cú: ậ Ơ ơ
12 2 4 1 3 5
2752 221 100 21 16 5 1
100 21 16 5 1 0
USCLN (2752, 221) = 1 nờn 2752 và 221 nguyờn tố cựng nhau.
3. Chia 7600 và 629 cho một số nguyờn N thỡ cỏc số dư lần lượt là 4 và 5. Tớnh N.
Giải:
N > 5 (vỡ số dư là 4 và 5) 7600 – 4 = 7596 M N 629 – 5 = 624 M N
Vậy N là USC của 7596 và 624 nờn nú cũng là US của USCLN của 7596 và 624.
Ta tỡm USCLN của 7596 và 624 là 12. Cỏc Ú của 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Mà N > 5 nờn N = 6 hay N = 12.
……….
4. Tỡm hai số nguyờn, biết tổng số của chỳng là 192 và USCLN là 24 ?
Giải :
Gọi A và B là là hai số phải tỡm, a và b là cỏc thương số của chỳng với 24. Ta cú A = 24a ; b = 24b. Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = 8.
Mặt khỏc theo định lý thỡ : (A a, B b) = 1 nên (a, b) = 1 24= 24= Vậy: a = 1 => 7 = 7 a = 2 => b = 6 (khụng hợp lý) a = 3 => b = 5 a = 4 => b = 4 (khụng hợp lý) Do đú số phải tỡm là: a = 1, b = 7 => A = 24 ; B = 168 a = 3, b = 5 => A = 72 ; B = 120 ………
5. Cho ba số chẵn liờn tiếp, chứng minh tớch ba số ấy chia hết cho 48. Giải:
Gọi 2n, 2n + 2, 2n + 4 là ba số chẵn liờn tiếp. Ta sẽ cú 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2).
n(n + 1)(n + 2) là tớch ba số nguyờn liờn tiếp nờn cú một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Suy ra n(n + 1)(n + 2) M 8.
Vậy ta cú 8n(n + 1)(n + 2) M 48 6. Tỡm BSCNN của 3080 và 1100 ? Giải : * Ta tỡm theo cỏch 1 : 2 1 4 3080 1100 880 220 880 220 0 => d = (3080, 1100) = 220 Vậy : D = 3080.1100 15400 220 = ………
7. Tỡm hai số A và B, biết USCLN bằng 6 và BSCNN bằng 120. Giải :
Gọi BSCNN của A và B là D, USCNN của A và B là d. Ta sẽ cú : A.B = D.d
Nếu a = A và b = thì a.b = . = B A B D.d = D 120 20 2
d d d d d d = 6 =
Như vậy a và b xẩy ra cỏc trường hợp sau:
a = 5 a = 2 ; a = 10 ; a = 1 ; a = 20 ; a = 4 ; b = 4 b = 10 b = 2 b = 20 b = 1 b = 5 ỡ ỡ ỡ ỡ ỡ ỡ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ùợ ợ ợ ợ ợ ợ Như vỡ (a, b) = 1 nờn chỉ cú thể a = 1 ; a = 4 b = 20 b = 5 ỡ ỡ ù ù ù ù ớ ớ ù ù ù ù ợ ợ
Suy ra: * A = ad = 1.6 = 6 hoặc A = 20.6 = 120 B = bd = 20.6 = 120 B = 1.6 = 6
* A = ad = 4.6 = 24 hoặc A = 5.6 = 30 B = bd = 5.6 = 30 B = 4.6 = 24
………
8. Tỡm một số nhỏ hơn 400 mà khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1. Khi chia cho 7 thỡ khụng cũn dư.
Giải:
N – 1 = BSC của 2, 3, 4, 5, 6. Như vậy N = BS của BSCNN (2,3,4,5,6) = 60.
Số đú cú thể là : 61, 121, 181, 241, 301, 361. Căn cứ theo điều kiện là N M 7 nờn ta cú N = 301
………
9. Tỡm hai số biết tổng của chỳng là 288 và USCLN của chỳng là 24.
Giải:
Gọi hai số phải tỡm là a và b (giả sử aÊ b). Ta cú a + b = 288 và (a,b) =24. Vỡ 24 là ƯSCLN của a và b nờn ta cú thể viết a = 24a,, b = 24 b,
trong đú a, và b, là hai số tự nhiờn nguyờn tố cựng nhau và a,Ê b,. Do đú :
,, , , , , 24a + 24b = 288 24(a + b ) = 288 a + b = 288 : 24 = 12Â
12 chỉ cú thể là tổng của hai cặp số nguyờn tố cựng nhau: 1 và 11, 5 và 7.
, , , , Với a = 1, b = 11 ta có a = 1.24 = 24, b = 11.24 = 264. Với a = 5, b = 7 ta có a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168. Hai số phải tỡm là : 24 và 264, 120 và 168. ……….
10. Tỡm hai số biết tớch của chỳng là 4320 và BSCNN của chỳng là 360.
Giải:
Gọi hai số phải tỡm là a và b (giả sử aÊ b), gọi d = (a, b) nờn a = a’.d,
b = b’.d trong đú (a’,b’) = 1. Ta đó biết: [a,b] = a.b
(a,b). Từ đú ta cú a.b = a
’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d.
Theo đầu bài, ta suy ra: 4320 , , 360
d = = 12 và a b = = 30.
360 12
Đảo lại, nếu (a’,b’) = 1 và a’.b’ = 30 thỡ cỏc số a = a’.12 và b = b’.12 cú tớch bằng 4320 và cú BCNN là 360.
Vậy chỉ cần tỡm hai số a’. b’ nguyờn tố cựng nhau
a’ b’ a b 1 2 3 5 30 15 10 6 12 24 36 60 360 180 120 72 Vậy cỏc cặp số phải tỡm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72. ……….
11. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đú chia cho 1292 dư bao nhiờu?
Giải:
Gọi số đó cho là A. Theo bài ra ta cú: A = 4q1 + 3
= 17q2 + 9
= 19q3 + 13 (q1, q2, q3 ẻ N) Nếu ta thờm vào số đó cho 25 thỡ ta lần lượt cú:
A + 25 = 4q1 + 3 + 25 = 4.(q1 + 7) = 17q2 + 9 + 25) = 17.(q2 + 2) = 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2)
Như vậy A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19. Nhưng 4, 17, 19 là ba số đụi một nguyờn tố cựng nhau, suy ra A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292.
Vậy A + 25 = 1292.k (k = 1, 2, 3, 4,….).
Suy ra A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267.
Do 1267 < 1292 nờn 1267 là số dư trong phộp chia số đó cho A cho 1292.
………
12. Tỡm hai số biết hiệu giữa BSCNN và ƯSCLN của chỳng bằng 18. Giải:
Gị hai số phải tỡm là a và b, ƯSCLN của a và b là d. Ta cú a = a’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyờn tố cựng nhau). BCNN của a và b là a’b’d. Theo đầu bài ta cú: a’b’d – d = 18.
(a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = 18 1 +
d .
Vỡ a’b’ là số tự nhiờn nờn d phải là ước của 18. Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử a b, a≥ , ≥ b . Ta có bảng sau:,
1 19 19 1 19 12 10 10 2 10 10 5 1 2 20 10 2 4 3 7 7 1 21 3 6 4 4 1 24 6 9 3 3 1 27 9 18 2 2 1 36 18 ...
13. Tỡm tất cả cỏc số lớn hơn 10000 nhưng nhỏ hơn 15000 mà khi chia chỳng cho 393 cũng như khi chia chỳng cho 655 đều được số dư là 210.
Giải:
Gọi số phải tỡm là A. Theo đầu bài ta cú: 10000 < A < 15000 (1) A = 393q1 + 210 (2)
A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2∈ N).
Từ (2) và (3) ta suy ra A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965. Do đú A – 210 = 1965 q (q ∈ N), nờn A = 1965q + 210 Từ (1) suy ra q chỉ cú thể bằng 5, 6, 7. Với q = 5 thỡ A = 1965.5 + 210 = 10035. Với q = 6 thỡ A = 1965.6 + 210 = 12000. Với q = 7 thỡ A = 1965.7 + 210 = 13965. Vậy cỏc số phải tỡm là: 10035, 12000, 13965. ………
14. Cho cỏc số tự nhiờn khỏc 0 là a, b, c sao cho: p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b.
Chứng minh rằng hai trong cỏc số p, q, r phải bằng nhau. Giải:
Trong ba số tự nhiờn a, b, c phải cú ớt nhất hai số cựng tớnh chẵn, lẻ. Giả sử hai số đú. Vỡ bc cựng tớnh chẵn lẻ với b nờn p = bc + a chẵn, nhưng p lại là số nguyờn tố, do đú p = 2, suy ra b = a = 1. Khi đú q = ab + c = 1 + c = ca + 1 = ca + r. Nếu hai số cựng tớnh chẵn lẻ là a và c hoặc b và c thỡ cũng lý luận tương tự, ta suy ra trong ba số nguyờn tố p, q, r phải cú hai số bằng nhau.
…..………
C