Cho X là một không gian metric và A là một tập con của X.
Định nghĩa 1.5.1. Tập A được gọi là compact nếu mọi dãy xn trong A
đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm x P A. Nếu X là tập compact thì ta nói X là không gian compact.
Mệnh đề 1.5.1. Tập compact là tập đóng. Tập con đóng của một tập compact là tập compact.
Chứng minh. Cho A là tập con compact. Giả sử xn là dãy trong A và
xn Ñ x, ta chỉ cần chứng minh rằng x P A. Thật vậy, vì A compact cho nên tồn tại dãy con xnk Ñ y P A. Do dãy xn cũng hội tụ cho nênx ✏ y P A. Giả sử B là tạp con đóng của A- compact. Lấy xn P B bất kỳ. Vì xn P B ⑨ A và A- compact nên tồn tại xnk Ñ x P A. Mà xnk P B- đóng cho nên
x P B. Vậy B là tập compact.
Định nghĩa 1.5.2. Tập A được gọi là compact tương đối nếu A là tập compact.
Nhận xét rằng nếu A là compact tương đối thì mọi dãy xn P A đều tồn tại một dãy con hội tụ (nhưng điểm hội tụ có thê không thuộc tập A). Ví dụ 1.49. Trên đường thẳng thực Rthì các đoạn ra;bs là các tập compact, các khoảng ♣a;bq là compact tương đối, các nửa đoạn ♣✁✽, asq không là tập compact tương đối.
Ví dụ 1.50. Trong không gian metric bất kỳ, một tập con hữu hạn là tập compact. Nếu X là không gian metric rời rạc thì điều ngược lại cũng đúng. 1.5.2 Một số đặc trưng của tập compact và không gian compact Định nghĩa 1.5.3. Tập con A của không gian metric X được gọi là bị chặn nếu A chứa trong một hình cầu nào đó, nghĩa là tồn tại x P X và
Ví dụ 1.51. Trong không gian metric rời rạc thì mọi tập con là hoàn toàn bị chặn vì B♣x0; 1q ✏ X.
Ví dụ 1.52. Cho R với metric l xác định bởi
l♣x, yq ✏ d♣x, yq 1 d♣x, yq
với d là một metric cho trước trên d. Khi đó mọi tập con là bị chặn vì
B♣x0; 1q ✏X.
Định nghĩa 1.5.4. Tập con A của không gian metric X được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu mỗi ǫ→ 0 luôn tồn tại hữu hạn hình cầu bán kính ǫ phũ tập A hay tồn tại x1, x2,☎ ☎ ☎ , xn sao cho
A ⑨ n ↕ k✏1 B♣xi, ǫq. Mệnh đề 1.5.2. Một tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn. Dành cho sinh viên.
Nhận xét rằng tồn tại những tập bị chặn nhưng không hoàn toàn bị chặn. (Lấy ví dụ trong không gian metric rời rạc với ǫ➔ 1). Tập compact trong không gian metric đầy đủ có những đặc trưng có tương đương riêng. Với những kết quả này, người ta có thể kiểm tra một tập là compact. Một trong những ứng dụng là định lý Arzela- Ascoli trong không gian các ánh xạ liên tục.
Felix Hausdorff, nhà toán học người Đức, một trong những nhà toán học đặt nền móng cho môn tô pô học, đã đưa ra các khái niệm hoàn toàn bị chặn và nêu ra đặc trưng sau của tập compact trong không gian metric đầy đủ.
Định lý 1.5.3. Trong không gian metric đầy đủ, một tập con A là compact nếu và chỉ nếu A đóng và hoàn toàn bị chặn.
Nhận xet rằng đối với không gian metric X bất kỳ thì chiều suy ra của định lý trên vẫn đúng. Nghĩa là tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn. Riêng đối với không gian hữu hạn chiều thì ta có kết quả quan trọng sau
Định lý 1.5.4. Trong không gian Rk, một tập con A là compact nếu và chỉ nếu A đóng và bị chặn.
Với kết quả của Hausdorff, tập compact được thể hiện thông quan tập hoàn toàn bị chặn. Một đặc trưng khác của tập compact là đặc trưng Heine- Borel thông qua các phủ mở.
Định nghĩa 1.5.5. Giả sử G ✏ tGα✉ với α P I- tập bất kỳ nào đó là một họ các tập mở trong X. Ta nói G là một phủ mở của tập A nếu
A⑨ ↕ αPI
Gα.
Ta nói A có một phủ con hữu hạn nếu tồn tại tập H ⑨ I hữu hạn sao cho
A⑨ ↕ αPH
Gα.
Định lý Heine- Borel nêu ra một đặc trưng của tập compact thông qua phủ mở hữu hạn
Định lý 1.5.5. Trong không gian metric X, tập con A là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của tập A đều chứa một phủ con hữu hạn.
1.5.3 Tính chất của hàm số liên tục trên tập compact
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả quan trọng về hàm số liên tục trên tập compact. Qua đó, độc giả có thể thấy được sự mở rộng đối với các kết quả của giải tích cổ điển.
Định lý 1.5.6. Ảnh của tập compact quan ánh xạ liên tục là một tập compact.
Chứng minh. Giả sử f : X Ñ Y là một ánh xạ liên tục và A ⑨ X là một tập compact. Khi đó, chọn yn ✏ f♣xnq P f♣Aq, vì A là tập compact cho nên tồn tại xnk Ñ x P A.
Mà f liên tục cho nên f♣xnkq Ñ f♣xq P f♣Aq. Do đó, f♣Aq là tập compact. Hệ quả 1.5.7. Hàm số thực liên tục trên một tập compact thì bị chặn và đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên tập đó.
Chứng minh. Giả sử A là tập con compact của không gian metric X và
f : X Ñ R là hàm liên tục. Khi đó f♣Aq là tập compact trong R nên f♣Aq
đóng và bị chặn. Do đó, tồn tại x1, x2 P A sao cho
f♣x1q ✏ min
xPA f♣xq;f♣x2q ✏ max
xPA f♣xq.
Trong giải tích cổ điển, chúng ta có kết quả rằng hàm f liên tục trên
ra;bs thì liên tục đều trên đoạn đó. Kết quả sau chỉ ra một sự mở rộng trên không gian metric và tập compact.
Định lý 1.5.8. Ánh xạ liên tục trên tập compact là liên tục đều.
Chứng minh. Giả sử♣X, ρq và♣Y, dq là các không gian metric, Alà tập con compact của X và f : A Ñ Y là mọt ánh xạ liên tục. Ta chứng minh f
liên tục đều trên A bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử f không liên tục đều. Khi đó tồn tại ǫ0 → 0 sao cho mọi δ → 0 tồn tại xδ, xδ✶ P A và ρ♣xδ, xδ✶q ➔ δ để
d♣f♣xδq, f♣xδ✶qq ➙ ǫ0.
Lần lượt lấy δ ✏ 1; 1 2,
1
3,☎ ☎ ☎ ta nhận được hai dãy txn✉,tx✶n✉ sao cho
ρ♣xn, x✶nq ➔ 1 n
và
Do A compact cho nên tồn tại dãy con xnk Ñ x P A và do đó x✶nk Ñ x. Do
f liên tục cho nên f♣xnkq Ñ f♣xq và f♣x✶nkq Ñ f♣xq. Điều này là vô lý với
d♣f♣xnq, f♣x✶nqq ➙ǫ0.
Phép chứng minh kết thúc.
Ví dụ 1.53. Nếu A là tập compact và B là tập đóng trong không gian metric X. Ta định nghĩa ρ♣A, Bq :✏ inftρ♣x, yq : x P A, y P B✉;δ♣Aq :✏ sup a,bPA ρ♣a,) ¯. Chứng minh rằng:
a. Tồn tại a P A sao cho d♣a, Bq ✏ d♣A, Bq. b. Tồn tại a, b P A sao cho ρ♣a, bq ✏ δ♣Aq.
c. Nếu A ❳ B ✏ ❍ thì tồn tại số α → 0 sao cho ρ♣x, yq ➙ α với mọi
x P A, y P B.
Lấy ví dụ để chỉ ra rằng tính compact của tập A không thể bỏ qua.
Ví dụ 1.54. Chứng minh rằng mọi song ánh liên tục f : X Ñ Y với X là không gian compact đều là phép đồng phôi.
Ví dụ 1.55. Cho f : X Ñ R và A là tập con compact của X. Chứng minh rằng
a. Tồn tại tập mở U chứa A sao cho f♣Uq là bị chặn.
b. Nếu f♣xq →0 với mọi x P A thì tồn tại số dương δ và tập mở V chứa A
để f♣xq ➙ δ với mọi x P V.
Ví dụ 1.56. Cho X là không gian metric compact và f : X Ñ X thỏa mãn
ρ♣f♣xq, f♣yqq ➙ρ♣x, yq,❅x, y P X.
1.6 Không gian các ánh xạ liên tục
Trong phần này, chúng tôi trình bày hai trong số những kết quả quan trọng nhất của giả tích hiện đại đó là định lý Arzela-Ascoli và định lý Stone-Weierstrass.
1.6.1 Không gian C♣X, Yq
Trong bài này, ta giả sử ♣X, ρq và ♣Y, dq là hai không gian metric. Ta kí hiệu C♣X, Yq là tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Trong chương trình giải tích cổ điển, đã trình bày các kết quả về hội tụ điểm, hội tụ đều. Ở đây, chúng tôi trình bày tổng quát trên các không gian metric.
Định nghĩa 1.6.1. Cho dãy các ánh xạ tfn✉ trong C♣X, Yq, ta nói: a. Dãy tfn✉ hội tụ điểm đến f nếu dãy điểm fn♣xq hội tụ trong Y đến f♣xq
với mọi x P X.
b. Dãy tfn✉ hội tụ đều đến f nếu mọi ǫ → 0 tồn tại η → 0 sao cho mọi
x, y P X mà ρ♣x, yq ➔η thì
d♣f♣xq, f♣yqq ➔ǫ.
Nhận xét. Một dãy ánh xạ hội tụ đều đến f thì hội tụ điểm đến hàm đó. Nhận xét. Sự hội tụ đều trong không gianCra;bslà sự hội tụ trong không gian metric Cra;bs với metric sup.
Định lý sau chỉ ra kết quả trên trong trường hợp không gian metric com- pact.
Định lý 1.6.1. Giả sử ♣X, ρq là một không gian metric compact. Khi đó hàm số δ :C♣X, Yq ✂C♣X, Yq Ñ R xác định bởi
δ♣f, gq ✏ sup xPX
d♣f♣xq, g♣xqq
là một metric trên Cra;bs. Hơn nữa, một dãy ánh xạ tfn✉ trong Cra;bs hội tụ đều đến f P Cra;bs nếu và chỉ nếu tfn✉ hội tụ theo metric δ đến f trong Cra;bs.
Chứng minh. Trước hết, chúng tôi chúng minh rằng hàm sốδ xác định như trên là tồn tại hữu hạn.
Thật vậy, vì X là không gian metric compact nên X là tạp compact. Mà
δ là hàm số liên tục trên X nên δ bị chặn trên X.
Việc kiểm tra δ là một metric xin được dành cho bạn đọc. 1.6.2 Định lý Arzela-Ascoli
Định lý Arzela- Ascoli cho một tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tương đối của một tập con trong không gian CrX, Ys. Chính vì lý do đó, định lý này được xem là một trong những kết quả quan trọng của giải tích hàm hiện đại. Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm
Định nghĩa 1.6.2. Giả sử T là một tập con của Cra;bs và x0 P X. Ta nói họ T là đồng liên tục tại x0 nếu với mỗi ǫ → 0 tồn tại η → 0 sao cho với mọi f P T và mọi y P X thỏa ρ♣x0, yq ➔η thì
d♣f♣x0q, f♣yqq ➔ǫ.
Họ T được gọi là đồng liên tục trên X nếu T đồng liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Ta nói họ T là đồng liên tục đều trên X nếu với mỗi ǫ → 0 tồn tại η → 0
sao cho với mọi f P T và mọi x, y P X thỏa ρ♣x, yq ➔ η thì
d♣f♣xq, f♣yqq ➔ǫ.
Nhận xét rằng nếuX là không gian metric compact thì họ đồng liên tục là đồng liên tục đều.
Ví dụ 1.57. Một tập con T của Cra;bs gồm hữu hạn các phần tử luôn là đồng liên tục. Thêm vào đó, nếu T có các phần tử liên tục đều thì T là đồng liên tục đều.
Ví dụ 1.58. Giả sử T là tập hợp các ánh xạ Lipchitz f : X Ñ Y với cùng hằng số Lipchitz L, nghĩa là
Ta kiểm tra được T là đồng liên tục.
Định lý 1.6.2. Cho ♣X, ρq là một không gian metric compact, ♣Y, dq là một không gian metric đầy đủ và T là một tập con của C♣X, Yq. Khi đó
T là tập compact tương đối trong C♣X, Yq nếu và chỉ nếu hai đều kiện sau thỏa mãn:
a. Với mỗi x P X thì tập hợp tf♣xq⑤f P T✉ là hoàn toàn bị chặn trong Y; b. T là đồng liên tục trên X.
Vì tập con trên đường thẳng thực là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn nên từ định lý trên ta suy ra được
Hệ quả 1.6.3. Giả sử X là một không gian metric compact. Khi đó tập con T của C♣X,Rq là compact tương đối nếu và chỉ nếu T đồng liên tục và bị chặn điểm, nghĩa là supt⑤f♣xq⑤f P T ➔ ✽✉❅x P X. Ví dụ 1.59. Tập con T ✏ tf P C1♣r0; 1s,Rq⑤ ➺ 1 0 ⑤f♣tq⑤2 dt ➺ 1 0 ⑤f✶♣tq⑤2 dt↕ 1✉
là compact tương đối trong C1
♣r0; 1s,Rq. 1.6.3 Định lý Stone- Weierstrass
Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả của Stone và Weierstrass về một tập trù mật trong không gian C♣X,Rq. Trước hết, chúng tôi trình bày về định lý xấp xỉ Weierstrass cổ điển
Định lý 1.6.4. Tập tất các các hàm đa thức với hệ số thực trù mật trong không gian C♣ra;bs,Rq.
Với kết quả trên đối với xấp xỉ Weierstrass cổ điển, chúng ta có nhận xét rằng mọi hàm số thực f liên tục trên đoạn ra;bs đều tồn tại một dãy các đa thức hội tụ đều đến hàm f. Nói cách khác, mọi hàm số thực f đều
có thể xấp xỉ với một dãy các đa thức, nghĩa là với mọi ǫ→ 0 luôn tồn tại đa thức P sao cho
⑤f♣xq ✁P♣xq⑤ ➔ ǫ;❅x P ra;bs.
Khi nghiên cứu mở rộng kết quả trên của Weierstrass, người ta đã mở rộng định lý trên trong trường hợp X là một không gian metric compact bất kỳ.
Không gian Tô Pô 2.1 Một số khái niệm cơ bản
Không gian Tô pô là một sự tổng quát hóa của không gian metric. Trong không gian tô pô, một số khái niệm và tính chất của không gian metric có thể " chuyển tải" mà không cần đến yếu tố khoảng cách.
2.1.1 Khái niệm không gian tô pô2.1.1.1 Định nghĩa không gian tô pô 2.1.1.1 Định nghĩa không gian tô pô
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là tập hợp bất kỳ. Một họ τ những tập con của X gọi là một tô pô trên X nếu ba điều kiện sau đây là thỏa mãn: 1) ❍ P τ và X P τ;
2) Nếu A, B P τ thì A❳B P τ; 3) Nếu Aα P τ thì ❨αPIAα P τ.
Ta nói ♣X, τq là một không gian tô pô, tập hợp X được gọi là không gian và mỗi phần tử là một điểm, mỗi tập hợp thuộc τ được gọi là một tập mở.
Nhận xét rằng trong định nghĩa của không gian tô pô thì giao hữu hạn các tập thuộc τ là một tập thuộc τ. (So sánh với không gian metric?)
Định nghĩa 2.1.2 (So sánh hai tô pô trên cùng một tập hợp). Giả sử τ
và τ✶ là các tô pô trên X. Khi đó ta nói τ mạnh hơn hơn τ✶ nếu τ✶ ⑨ τ. 2.1.1.2 Một số ví dụ về không gian tô pô
Ví dụ 2.1. Cho X là tập hợp bất kỳ. Khi đó τ ✏ t❍, X✉ là một tô pô trên
X. Tô pô này được gọi là tô pô thô trên X. Nhận xét rằng tô pô thô là tô pô yếu nhất trên tập hợp X.
Ví dụ 2.2. Cho X là tập hợp bất kỳ, cho họ τ ✏ P♣Xq là tập tất cả các tập con của X. Khi đó P♣Xq là một tô pô trên X và được gọi là tô pô rời rạc trên X .Nhận xét rằng P♣Xq là tô pô mạnh nhất trong tất cả các tôpô trên X. (vì sao?).
Ví dụ 2.3. Cho ♣X, ρq là một không gian metric. Họ τ gồm tất cả các tập mở trong X là một tô pô trên X. Tô pô này được gọi là tô pô sinh bởi metric.
Ví dụ 2.4. Cho tập X khác rỗng. Họ
τ ✏ tG⑨ X : G✏ ❍ hoặc X③G hữu hạn.✉
Kiểm tra được rằng τ là một tô pô trên X. Thật vậy, + GP τ theo định nghĩa và X P τ vì X③X là hữu hạn.
+ Nếu A, B P τ khi đó X③A và X③B hữu hạn cho nêu X③♣A ❳ Bq ✏ ♣X③Aq ❨ ♣X③Bq là hữu hạn.
+ Nếu Aα P τ thì X③♣❨αPIAαq là hữu hạn.