Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả quan trọng về hàm số liên tục trên tập compact. Qua đó, độc giả có thể thấy được sự mở rộng đối với các kết quả của giải tích cổ điển.
Định lý 1.5.6. Ảnh của tập compact quan ánh xạ liên tục là một tập compact.
Chứng minh. Giả sử f : X Ñ Y là một ánh xạ liên tục và A ⑨ X là một tập compact. Khi đó, chọn yn ✏ f♣xnq P f♣Aq, vì A là tập compact cho nên tồn tại xnk Ñ x P A.
Mà f liên tục cho nên f♣xnkq Ñ f♣xq P f♣Aq. Do đó, f♣Aq là tập compact. Hệ quả 1.5.7. Hàm số thực liên tục trên một tập compact thì bị chặn và đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên tập đó.
Chứng minh. Giả sử A là tập con compact của không gian metric X và
f : X Ñ R là hàm liên tục. Khi đó f♣Aq là tập compact trong R nên f♣Aq
đóng và bị chặn. Do đó, tồn tại x1, x2 P A sao cho
f♣x1q ✏ min
xPA f♣xq;f♣x2q ✏ max
xPA f♣xq.
Trong giải tích cổ điển, chúng ta có kết quả rằng hàm f liên tục trên
ra;bs thì liên tục đều trên đoạn đó. Kết quả sau chỉ ra một sự mở rộng trên không gian metric và tập compact.
Định lý 1.5.8. Ánh xạ liên tục trên tập compact là liên tục đều.
Chứng minh. Giả sử♣X, ρq và♣Y, dq là các không gian metric, Alà tập con compact của X và f : A Ñ Y là mọt ánh xạ liên tục. Ta chứng minh f
liên tục đều trên A bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử f không liên tục đều. Khi đó tồn tại ǫ0 → 0 sao cho mọi δ → 0 tồn tại xδ, xδ✶ P A và ρ♣xδ, xδ✶q ➔ δ để
d♣f♣xδq, f♣xδ✶qq ➙ ǫ0.
Lần lượt lấy δ ✏ 1; 1 2,
1
3,☎ ☎ ☎ ta nhận được hai dãy txn✉,tx✶n✉ sao cho
ρ♣xn, x✶nq ➔ 1 n
và
Do A compact cho nên tồn tại dãy con xnk Ñ x P A và do đó x✶nk Ñ x. Do
f liên tục cho nên f♣xnkq Ñ f♣xq và f♣x✶nkq Ñ f♣xq. Điều này là vô lý với
d♣f♣xnq, f♣x✶nqq ➙ǫ0.
Phép chứng minh kết thúc.
Ví dụ 1.53. Nếu A là tập compact và B là tập đóng trong không gian metric X. Ta định nghĩa ρ♣A, Bq :✏ inftρ♣x, yq : x P A, y P B✉;δ♣Aq :✏ sup a,bPA ρ♣a,) ¯. Chứng minh rằng:
a. Tồn tại a P A sao cho d♣a, Bq ✏ d♣A, Bq. b. Tồn tại a, b P A sao cho ρ♣a, bq ✏ δ♣Aq.
c. Nếu A ❳ B ✏ ❍ thì tồn tại số α → 0 sao cho ρ♣x, yq ➙ α với mọi
x P A, y P B.
Lấy ví dụ để chỉ ra rằng tính compact của tập A không thể bỏ qua.
Ví dụ 1.54. Chứng minh rằng mọi song ánh liên tục f : X Ñ Y với X là không gian compact đều là phép đồng phôi.
Ví dụ 1.55. Cho f : X Ñ R và A là tập con compact của X. Chứng minh rằng
a. Tồn tại tập mở U chứa A sao cho f♣Uq là bị chặn.
b. Nếu f♣xq →0 với mọi x P A thì tồn tại số dương δ và tập mở V chứa A
để f♣xq ➙ δ với mọi x P V.
Ví dụ 1.56. Cho X là không gian metric compact và f : X Ñ X thỏa mãn
ρ♣f♣xq, f♣yqq ➙ρ♣x, yq,❅x, y P X.