tập mở U và V sao cho x P U và y P V thỏa U ❳V ✏ ❍.
Ví dụ 2.12. Mọi không gian metric đều là không gian Hausdorff.
Nhận xét rằng mọi không gian Hausdorff đều là T1 không gian. Tuy nhiên, tồn tại những không gian tô pô là T1 không gian nhưng không là không gian Hausdorff. Thật vậy ta xét
Ví dụ 2.13. Cho X là tập hợp vô hạn với tô pô đối hữu hạn. Khi đó X là
T1 không gian nhưng không là T2 không gian. (Sinh viên kiểm tra???).
Mệnh đề 2.3.2. Mọi không gian con của không gian Hausdorff cũng là một không gian Hausdorff.
Mệnh đề 2.3.3. Cho không gian tô pô X. Khi đó X là không gian Haus- dorff nếu và chỉ nếu tập
∆ ✏ t♣x, xq : x P X✉ là tập đóng trong X ✂X.
2.3.3 Không gian chính quy và không gian chuẩn tắc2.3.3.1 Không gian chính quy 2.3.3.1 Không gian chính quy
Định nghĩa 2.3.3. Không gian tô pô X được gọi là chính quy nếu với mỗi tập đóng B trong X và xP X và x ❘ B thì tồn tại các tập mở V chứa
Mệnh đề 2.3.4. Không gian con của một không gian chính quy là chính quy.
Định lý 2.3.5. Không gian tô pô X là chính quy nếu và chỉ nếu với mỗi tập mở G trong X và mỗi điểm x P G tồn tại tập mở U sao cho
x P U ⑨ U ⑨ G.
Chứng minh. Giả sử X là không gian chính quy. G là tập mở trong X và
x P G. Khi đó B ✏ X③G là một tập đóng không chứa x. Vì tính chất chính quy của X nên tồn tại hai tập mở rời nhau U và V sao cho x P U
và B ⑨ V. Suy ra X③V đóng và U ⑨ X③V ⑨ X③B ✏ G hay
x P U ⑨ U ⑨ X③V ⑨ G.
Ngược lại, giả sử x P X và B là tập đóng của X không chứa x. Ta có
G ✏ X③B là tập mở chứa x. Theo giả thiết tồn tại tập mở U chứa x sao cho U ⑨ G. Khi đó, U và V ✏ X③U là hai tập mở rời nhau lần lượt chứa
x và B. Vì vậy, X là không gian tô pô chính quy. 2.3.3.2 Không gian chuẩn tắc
Định nghĩa 2.3.4. Không gian tô pô X được gọi là chuẩn tắc nếu A và
B là các tập đóng trong X và A❳ B ✏ ❍ thì tồn tại các tập mở U và V
sao cho A⑨ U, B ⑨ V thỏa U ❳V ✏ ❍.
Tương tự như đối với không gian tô pô chính quy, trong không gian tô pô chuẩn tắc ta có được kết quả
Định lý 2.3.6. Không gian tô pô X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu với tập đóng A và tập G -mở , A ⑨ G tồn tại tập mở U sao cho
A ⑨ U ⑨ U ⑨ G.
Chứng minh. Giả sử ♣X, ρq là một không gian metric. A, B là các tập đóng rời nhau trong X. Khi đó X③B là tập mở nên với mỗi x P A tồn tại hình cầu B♣x, rxq ⑨ X③B hay B♣x, rxq ❳B ✏ ❍. Tương tự với mỗi y P B tồn tại hình cầu B♣y, ryq sao cho B♣y, ryq ❳A ✏ ❍. Đặt
U ✏ ↕ xPA
B♣x, rx④2q;V ✏ ↕ yPB
B♣y, ry④2q.
Khi đó U vàV là các tập mở chứa Avà B. Ta kiểm tra được rằng U❳V ✏ ❍. Vậy X là không gian chuẩn tắc.
Ví dụ 2.14. Không gian Rl là chuẩn tắc nhưng không khả metric.
Chứng minh. Giả sử A và B là các tập đóng tren Rl. Rõ ràng mỗi tập gồm một điểm là đóng trong Rl. Do đó với mỗi điểm a có lân cận ra, ǫaq không giao với B và mỗi điểm b P B có lân cận rb, ǫbq không giao với A. Từ đó
U ✏ ↕ aPA
ra, ǫaq và V ✏ ↕ bPB
rb, ǫbq
là hai tập rời nhau trong Rl lần lượt chứa A và B.
Định nghĩa 2.3.5. T1 không gian X được gọi là T3-không gian nếu X
chính quy, được gọi là T4-không gian nếu X chuẩn tắc.
Nhận xét rằng mỗi T4-không gian là T3-không gian. Về mối liên hệ giữa hai lớp không gian ta có kết quả sau
Định lý 2.3.8. Mỗi không gian chính quy và đếm được thứ hai là chuẩn tắc.
2.4 Không gian Compact
2.4.1 Định nghĩa không gian compact
Định nghĩa 2.4.1. Cho ♣X, τq là một không gian tô pô và A ⑨ X. Một họ các tập mở G ✏ tGα✉αPI của X được gọi là một phủ mở của A nếu
A ⑨ ➈αPIGα. Phủ mở của tập A được gọi là hữu hạn nếu tồn tập con hữu hạn H của I sao cho tGα✉ với α P H cũng là phủ mở của A.
Định nghĩa 2.4.2. Tập con A của không gian tô pô X gọi là compact nếu mỗi phủ mở của tập A đều chứa một phủ con hữu hạn.
Không gian X gọi là compact nếu X là tập compact.
Ví dụ 2.15. Nếu X gồm hữu hạn phần tử thì không gian X là compact với bất kỳ tô pô nào trên X. Không gian tô pô rời rạc X là compact nếu và chỉ nếu X có hữu hạn phần tử.
Ví dụ 2.16. Đường thẳng thực R không compact vì họ ♣✁n;nq là phủ mở của R nhưng không chứa phủ con hữu hạn nào.
Ví dụ 2.17. Giả sử τ là tô pô trên tập X sinh bởi metric ρ và A⑨ X. Khi đó A là compact nếu và chỉ nếu A compact theo dãy (nghĩa là mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ đến một phần tử thuộc A).
Ví dụ 2.18. Giả sử txn✉ là một dãy hội tụ đến x trong không gian tô pô
X. Khi đó tập hợp txn✉ ❨ tx✉ là compact.
2.4.2 Một số tính chất của không gian compact
Giống như tập compact trong không gian metric, tập compact và không gian tô pô compact cũng có các tính chất đẹp sau.
Mệnh đề 2.4.1. Tập con đóng của không gian tô pô compact là compact. Mọi tập con compact của không gian tô pô Hausdorff là đóng.
[1] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm Tập 1, NXB Giáo dục 2001.
[2] Thái Thuần Quang (2011), Bài giảng không gian vector topo, Trường Đại học Quy Nhơn.
[3] Meise, R., Vogt, D. (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford.