Trong bài này, ta giả sử ♣X, ρq và ♣Y, dq là hai không gian metric. Ta kí hiệu C♣X, Yq là tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Trong chương trình giải tích cổ điển, đã trình bày các kết quả về hội tụ điểm, hội tụ đều. Ở đây, chúng tôi trình bày tổng quát trên các không gian metric.
Định nghĩa 1.6.1. Cho dãy các ánh xạ tfn✉ trong C♣X, Yq, ta nói: a. Dãy tfn✉ hội tụ điểm đến f nếu dãy điểm fn♣xq hội tụ trong Y đến f♣xq
với mọi x P X.
b. Dãy tfn✉ hội tụ đều đến f nếu mọi ǫ → 0 tồn tại η → 0 sao cho mọi
x, y P X mà ρ♣x, yq ➔η thì
d♣f♣xq, f♣yqq ➔ǫ.
Nhận xét. Một dãy ánh xạ hội tụ đều đến f thì hội tụ điểm đến hàm đó. Nhận xét. Sự hội tụ đều trong không gianCra;bslà sự hội tụ trong không gian metric Cra;bs với metric sup.
Định lý sau chỉ ra kết quả trên trong trường hợp không gian metric com- pact.
Định lý 1.6.1. Giả sử ♣X, ρq là một không gian metric compact. Khi đó hàm số δ :C♣X, Yq ✂C♣X, Yq Ñ R xác định bởi
δ♣f, gq ✏ sup xPX
d♣f♣xq, g♣xqq
là một metric trên Cra;bs. Hơn nữa, một dãy ánh xạ tfn✉ trong Cra;bs hội tụ đều đến f P Cra;bs nếu và chỉ nếu tfn✉ hội tụ theo metric δ đến f trong Cra;bs.
Chứng minh. Trước hết, chúng tôi chúng minh rằng hàm sốδ xác định như trên là tồn tại hữu hạn.
Thật vậy, vì X là không gian metric compact nên X là tạp compact. Mà
δ là hàm số liên tục trên X nên δ bị chặn trên X.
Việc kiểm tra δ là một metric xin được dành cho bạn đọc. 1.6.2 Định lý Arzela-Ascoli
Định lý Arzela- Ascoli cho một tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tương đối của một tập con trong không gian CrX, Ys. Chính vì lý do đó, định lý này được xem là một trong những kết quả quan trọng của giải tích hàm hiện đại. Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm
Định nghĩa 1.6.2. Giả sử T là một tập con của Cra;bs và x0 P X. Ta nói họ T là đồng liên tục tại x0 nếu với mỗi ǫ → 0 tồn tại η → 0 sao cho với mọi f P T và mọi y P X thỏa ρ♣x0, yq ➔η thì
d♣f♣x0q, f♣yqq ➔ǫ.
Họ T được gọi là đồng liên tục trên X nếu T đồng liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Ta nói họ T là đồng liên tục đều trên X nếu với mỗi ǫ → 0 tồn tại η → 0
sao cho với mọi f P T và mọi x, y P X thỏa ρ♣x, yq ➔ η thì
d♣f♣xq, f♣yqq ➔ǫ.
Nhận xét rằng nếuX là không gian metric compact thì họ đồng liên tục là đồng liên tục đều.
Ví dụ 1.57. Một tập con T của Cra;bs gồm hữu hạn các phần tử luôn là đồng liên tục. Thêm vào đó, nếu T có các phần tử liên tục đều thì T là đồng liên tục đều.
Ví dụ 1.58. Giả sử T là tập hợp các ánh xạ Lipchitz f : X Ñ Y với cùng hằng số Lipchitz L, nghĩa là
Ta kiểm tra được T là đồng liên tục.
Định lý 1.6.2. Cho ♣X, ρq là một không gian metric compact, ♣Y, dq là một không gian metric đầy đủ và T là một tập con của C♣X, Yq. Khi đó
T là tập compact tương đối trong C♣X, Yq nếu và chỉ nếu hai đều kiện sau thỏa mãn:
a. Với mỗi x P X thì tập hợp tf♣xq⑤f P T✉ là hoàn toàn bị chặn trong Y; b. T là đồng liên tục trên X.
Vì tập con trên đường thẳng thực là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn nên từ định lý trên ta suy ra được (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hệ quả 1.6.3. Giả sử X là một không gian metric compact. Khi đó tập con T của C♣X,Rq là compact tương đối nếu và chỉ nếu T đồng liên tục và bị chặn điểm, nghĩa là supt⑤f♣xq⑤f P T ➔ ✽✉❅x P X. Ví dụ 1.59. Tập con T ✏ tf P C1♣r0; 1s,Rq⑤ ➺ 1 0 ⑤f♣tq⑤2 dt ➺ 1 0 ⑤f✶♣tq⑤2 dt↕ 1✉
là compact tương đối trong C1
♣r0; 1s,Rq. 1.6.3 Định lý Stone- Weierstrass
Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả của Stone và Weierstrass về một tập trù mật trong không gian C♣X,Rq. Trước hết, chúng tôi trình bày về định lý xấp xỉ Weierstrass cổ điển
Định lý 1.6.4. Tập tất các các hàm đa thức với hệ số thực trù mật trong không gian C♣ra;bs,Rq.
Với kết quả trên đối với xấp xỉ Weierstrass cổ điển, chúng ta có nhận xét rằng mọi hàm số thực f liên tục trên đoạn ra;bs đều tồn tại một dãy các đa thức hội tụ đều đến hàm f. Nói cách khác, mọi hàm số thực f đều
có thể xấp xỉ với một dãy các đa thức, nghĩa là với mọi ǫ→ 0 luôn tồn tại đa thức P sao cho
⑤f♣xq ✁P♣xq⑤ ➔ ǫ;❅x P ra;bs.
Khi nghiên cứu mở rộng kết quả trên của Weierstrass, người ta đã mở rộng định lý trên trong trường hợp X là một không gian metric compact bất kỳ.
Không gian Tô Pô 2.1 Một số khái niệm cơ bản
Không gian Tô pô là một sự tổng quát hóa của không gian metric. Trong không gian tô pô, một số khái niệm và tính chất của không gian metric có thể " chuyển tải" mà không cần đến yếu tố khoảng cách.
2.1.1 Khái niệm không gian tô pô2.1.1.1 Định nghĩa không gian tô pô 2.1.1.1 Định nghĩa không gian tô pô
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là tập hợp bất kỳ. Một họ τ những tập con của X gọi là một tô pô trên X nếu ba điều kiện sau đây là thỏa mãn: 1) ❍ P τ và X P τ;
2) Nếu A, B P τ thì A❳B P τ; 3) Nếu Aα P τ thì ❨αPIAα P τ.
Ta nói ♣X, τq là một không gian tô pô, tập hợp X được gọi là không gian và mỗi phần tử là một điểm, mỗi tập hợp thuộc τ được gọi là một tập mở.
Nhận xét rằng trong định nghĩa của không gian tô pô thì giao hữu hạn các tập thuộc τ là một tập thuộc τ. (So sánh với không gian metric?)
Định nghĩa 2.1.2 (So sánh hai tô pô trên cùng một tập hợp). Giả sử τ
và τ✶ là các tô pô trên X. Khi đó ta nói τ mạnh hơn hơn τ✶ nếu τ✶ ⑨ τ. 2.1.1.2 Một số ví dụ về không gian tô pô
Ví dụ 2.1. Cho X là tập hợp bất kỳ. Khi đó τ ✏ t❍, X✉ là một tô pô trên
X. Tô pô này được gọi là tô pô thô trên X. Nhận xét rằng tô pô thô là tô pô yếu nhất trên tập hợp X.
Ví dụ 2.2. Cho X là tập hợp bất kỳ, cho họ τ ✏ P♣Xq là tập tất cả các tập con của X. Khi đó P♣Xq là một tô pô trên X và được gọi là tô pô rời rạc trên X .Nhận xét rằng P♣Xq là tô pô mạnh nhất trong tất cả các tôpô trên X. (vì sao?).
Ví dụ 2.3. Cho ♣X, ρq là một không gian metric. Họ τ gồm tất cả các tập mở trong X là một tô pô trên X. Tô pô này được gọi là tô pô sinh bởi metric.
Ví dụ 2.4. Cho tập X khác rỗng. Họ
τ ✏ tG⑨ X : G✏ ❍ hoặc X③G hữu hạn.✉
Kiểm tra được rằng τ là một tô pô trên X. Thật vậy, + GP τ theo định nghĩa và X P τ vì X③X là hữu hạn.
+ Nếu A, B P τ khi đó X③A và X③B hữu hạn cho nêu X③♣A ❳ Bq ✏ ♣X③Aq ❨ ♣X③Bq là hữu hạn.
+ Nếu Aα P τ thì X③♣❨αPIAαq là hữu hạn. 2.1.2 Lân cận
Định nghĩa 2.1.3. Tập con U của không gian tô pô X gọi là một lân cận của điểm x P X nếu tồn tại tập mở G sao cho x P G ⑨ U.
Gọi Ux là tập tất cả các lân cận của x. Khi đó, Ux có các tính chất sau: Mệnh đề 2.1.1. Trong không gian tô pô X, thì
ii) Nếu U P Ux và U ⑨ V thì V P Ux. iii) Nếu U, V P Ux thì U ❳V P Ux. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
iv) Nếu U P Ux thì tồn tại W P Ux sao cho W P Uy với mọi y P W.
2.1.3 Tập đóng, phần trong, bao đóng
Định nghĩa 2.1.4. Tập con A của không gian tô pô X được gọi là tập đóng nếu phần bù X③A là tập mở.
Mệnh đề 2.1.2. Trong một không gian tô pô thì : i) Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng;
ii) Giao tùy ý các tập đóng là tập đóng.
Vì không gian metric là một không gian tô pô với họi các tập mở nên mệnh đề trên không đúng khi thay hợp hữu hạn bằng hợp vô hạn. ( Cho ví dụ???)
Định nghĩa 2.1.5. Cho X là không gian tô pô và A là tập con của X và
x P X. Ta nói:
a) x là một điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại tập mở U chứa x sao cho U ⑨ A.
b) x được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mọi lân cận U của x
trong X thì U ❳A ✘ ∅.
c) x được gọi là một điểm biên của tập hợp A nếu với mọi lân cận U của
x thì U ❳ A✘ ∅ và U ❳ ♣X③Aq ✘ ❍.
d) x được gọi là một điểm tụ của tập hợp A nếu với mọi lân cận U của x
thì U ❳ ♣A③tx✉q ✘ ❍.
- Tập tất cả các điểm trong của tập hợp A được gọi là phần trong của tập hợp A và kí hiệu là Int♣Aq hoặc A0.
- Tập tất cả các điểm dính của tập hợp A được gọi là bao đóng của tập hợp A và kí hiệu là A.
- Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A và kí hiệu là ❇A.
- Tập tất cả các điểm tụ của tập hợp A được gọi là dẫn xuất của tập hợp
A và viết A✶.
Mệnh đề 2.1.3. Cho X là không gian tô pô và A, B là các tập con của X . Khi đó:
a) int♣A❳Bq ✏int♣Aq ❳ int♣Bq. b) A❨B ✏ A❨B.
c) Nếu A ⑨ B thì A⑨ B và int♣Aq ⑨int♣Bq
Mệnh đề 2.1.4. Cho A là tập con của không gian tô pô X. Khi đó X③A ✏ X③♣int♣Aqq.
Mệnh đề 2.1.5. Cho X là một không gian tô pô. Với mỗi tập con A trong X ta định nghĩa α♣Aq ✏ int♣Aq. Khi đó a) Nếu A, B ⑨ X và A⑨ B thì α♣Aq ⑨αB. b) Nếu A mở thì A ⑨ α♣Aq. c) Với mỗi tập A ⑨ X thì α♣α♣Aqq ✏α♣Aq.
d) Nếu A, B là các tập rời nhau thì α♣Aq và α♣Bq cũng là các tập rời nhau.
2.1.4 Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 2.1.6. Cho ♣X, τq và ♣Y, θq là các không gian tô pô. Ánh xạ
f : X Ñ Y được gọi là một ánh xạ liên tục tại điểm x P X nếu với mỗi lân cận V của f♣xq trong Y luôn tồn tại lân cận U của x trong X sao cho
f♣Uq ⑨V. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 2.5. Cho τ và θ là các tô pô trên cùng một tập hợp X. Khi đó ánh xạ đồng nhất id : ♣X, τq Ñ ♣Y, θq là liên tục nếu và chỉ nếu θ ↕ τ.
Tương tụ như đối với không gian metric, trong phép chứng minh ta thay hình cầu bằng tập mở. Khi đó ta có định lý sau
Định lý 2.1.6. Cho X, Y là các không gian tô pô và ánh xạ f : X Ñ Y. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
a) f liên tục;
b) f✁1♣Gq mở trong X với mọi tập mở trong Y. c) f✁1
♣Fq đóng trong X với mọi tập đóng trong Y.
Định lý 2.1.7. Cho f : X Ñ Y và g : Y Ñ Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ g0f : X Ñ Z cũng là ánh xạ liên tục.
Mệnh đề 2.1.8. Cho ánh xạ f : X Ñ Y . Khi đó f liên tục nếu và chỉ nếu với mọi tập con A trong X thì f♣Aq ⑨f♣Aq.
Định nghĩa 2.1.7. Một song ánh f : X Ñ Y được gọi là một phép đồng phôi nếu f và f✁1 là liên tục. Nếu tồn tại phép đồng phôi giữa các không gian tô pô X và Y thì ta nói hai không gian X và Y đồng phôi với nhau. Mệnh đề 2.1.9. Một song ánh f : X Ñ Y là một phép đồng phôi nếu f liên tục và f là một ánh xạ mở (hoặc đóng). Trong đó ánh xạ f được gọi là mở nếu f♣Gq mở trong Y với mọi tập mở G trong X.
Ví dụ 2.6. Trên R ta xét không gian tô pô cảm sinh bởi metric thông thường. Khi đó ánh xạ
f : ♣0; 1q Ñ ♣a;bq
xác định bởi f♣tq ✏ ♣b ✁ aqt a là một song ánh liên tục và có ánh xạ ngược liên tục. Nêu hai khoảng ♣0; 1q và ♣a;bq là đồng phôi với nhau. Ví dụ 2.7. Trong R2 xét đường tròn đơn vị S1 ✏ t♣x, yq : x2 y2 ✏ 1✉. Ánh xạ f :r0; 1q Ñ S1 xác định bởi
f♣tq ✏ ♣cos♣2πtq,sin♣2πtqq
là một song ánh nhưng không là phép đồng phôi vì f✁1♣0,0q không là ánh xạ liên tục.
Ví dụ 2.8. Cho hàm số thực f : R Ñ R xác định bởi f♣xq ✏ x2. Khi đó f
không là ánh xạ mở.
Thật vậy, bạn đọc có thể kiểm tra f♣✁1; 1q không là tập mở. Ví dụ 2.9. Cho ánh xạ f : R2 Ñ R xác định bởi
f♣x, yq ✏x.
Khi đó f là ánh xạ liên tục nhưng không là ánh xạ đóng. Thật vậy, bạn đọc có thể kiểm tra f♣R✂ r0; 1sq
2.2 Cơ sở Tô pô
2.2.1 Định nghĩa cơ sở Tô pô
Định nghĩa 2.2.1. Cho ♣X, τq là một không gian tô pô. Họ con B ⑨ τ
được gọi là một cơ sở tô pô của tô pô τ nếu với mọi G P τ thì tồn tại họ con D của B sao cho
G✏ ↕ BPD
B.
Khi đó ta nói B là cơ sở của không gian tô pô X.
Mệnh đề 2.2.1. (Tiêu chuẩn để một họ tạo nên một cơ sở tô pô) Cho ♣X, τq là một không gian tô pô và B ⑨ τ. Họ B lập nên một cơ sở của không gian tô pô nếu với mọi G P τ với mọi x P G luôn tồn tại B P B sao cho x P B ⑨ G.
Chứng minh. Giả sử G P τ và x P G. Do B là cơ sở tô pô cho nên tồn tại họ D ⑨ B sao cho x P G ✏ ➈BPDB. Cho nên tồn tại B P D sao cho
x P B ⑨ G.
Ngược lại, với G P τ theo giả thiết với mỗi x P G tồn tại Bx P B sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
x P Bx ⑨ G. Do đó
G ✏ ↕tBx : x P G✉
hay G có thể biểu diễn được bằng hợp các tập thuộc B. Do đó B là cơ sở tô pô của τ.
Ví dụ 2.10. Cho ♣X.dq là không gian metric và khi đó X là một không gian tô pô sinh bởi các tập mở trong X. Họ tất cả các hình cầu mở lập nên một cơ sở tô pô của X.
Trên không gian tô pô ♣X, τq nếu tồn tại một cơ sở tô pô B. Khi đó ta có thể kiểm tra một số tính chất của không gian X " chỉ cần đúng trên cơ sở tô pô". Định lý sau cho một ví dụ như thế.
Định lý 2.2.2. Giả sử ánh xạ f : ♣X, τq Ñ ♣Y, θq là một ánh xạ giữa hai không gian tô pô. Giả sử rằng B là một cơ sở tô pô trên Y. Khi đó, ánh xạ f liên tục nếu và chỉ nếu f✁1♣Gq là tập mở trong X với mọi U P B.
Chứng minh. Dành cho sinh viên??? 2.2.2 Xây dựng tô pô
Giả sử X là một tập hợp cho trước, trên X chưa có tô pô. Giả sử có một họ các tập con của X là B. Yêu cầu đặt ra là tìm điều kiện của họ B
để tồn tại một tô pô trên X nhận B là " cơ sở tô pô". Định lý sau chỉ ra điều kiện đó.
Định lý 2.2.3. Cho tập hợp X khác rỗng bất kỳ. Một họ B các tập con của X là cơ sở tô pô của một tô pô nào đó trên X nếu và chỉ nếu hai điều