Giả sử rằng dầm FGM chủ có một vết nứt tại vị trí e tính từ đầu bên trái của nó. Gần đây, một số tác giả như Aydin [81]; Banerjee và cộng sự [85] đã đề xuất mô hình vết nứt bằng lò xo quay có độ cứng được tính toán từ độ sâu vết nứt. Tuy nhiên, vì dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM thường đi đôi với nhau, nên vết nứt cũng có thể thay đổi các đặc tính dao động dọc trục. Do đó, vết nứt được mô
hình hóa trong nghiên cứu này bằng một cặp lò xo tương đương có độ cứng 𝑇 đối với lò xo thẳng và độ cứng 𝑅 đối với lò xo quay (Hình 3.1). Vì vậy, các điều kiện phải thỏa mãn tại vết nứt là
𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝑁(𝑒)/𝑇 ; 𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝑀(𝑒)/𝑅 ;
𝑈𝑥′(𝑒 + 0) = 𝑈𝑥′(𝑒 − 0) ; 𝛩𝑥′(𝑒 + 0) = 𝛩𝑥′(𝑒 − 0) ; (3.1) 𝑊𝑥′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥′(𝑒 − 0) + 𝑀(𝑒)/𝑅,
trong đó 𝑁(𝑥) = 𝐴11𝑈𝑥′(𝑥); 𝑀(𝑥) = 𝐴22𝛩𝑥′(𝑥) lần lượt là lực dọc trục và mômen uốn tại mặt cắt x
Hình 3. 1. Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình của hai lò xo tương đương
Thay các biểu thức của lực dọc trục và mômen uốn vào, phương trình (3.1) có thể được viết lại thành [82]
𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝛾1𝑈𝑥′(𝑒) ; 𝑈𝑥′(𝑒 + 0) = 𝑈𝑥′(𝑒 − 0) ; 𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 𝑊𝑥′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥′(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥′(𝑒);
𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥′(𝑒) ; 𝛩𝑥′(𝑒 + 0) = 𝛩𝑥′(𝑒 − 0) ; (3.2) 𝛾1 = 𝐴11/𝑇; 𝛾2 = 𝐴22/𝑅.
Độ lớn vết nứt 𝛾1, 𝛾2 là hàm của các tham số vật liệu như là môđun đàn hồi và chúng phải là các tham số của dầm đồng nhất khi 𝐸𝑡 = 𝐸𝑏 = 𝐸0. Mặt khác, sử dụng biểu thức (2.5), độ lớn vết nứt có thể được viết lại thành
𝛾1 = 𝐴11/𝑇 = 𝛾𝑎𝜑1(𝑟𝑒, 𝑛) ; 𝛾2 = 𝐴22/𝑅 = 𝛾𝑏𝜑3(𝑟𝑒, 𝑛), (3.3) trong đó 𝛾𝑎 = 𝐸𝑏𝐴/𝑇; 𝛾𝑏 = 𝐸𝑏𝐼𝑏/𝑅 và các hàm 𝜑1, 𝜑3 được định nghĩa trong các biểu thức (2.5) của chương 2. Trong trường hợp dầm đồng nhất khi 𝑟𝑒 = 1 , độ lớn vết nứt sẽ là
𝛾1 = 𝛾𝑎𝜑1(1,0) = 𝛾𝑎 = 𝛾10;,𝛾2 = 𝛾𝑏𝜑3(1,0) = 𝛾𝑏/12 = 𝛾20,
chúng được tính toán từ độ sâu vết nứt a đối với dao động dọc trục và dao động uốn như [86], [82]: 𝛾10 = 𝐸0𝐴/𝑇 = 2𝜋(1 − 𝜈02)ℎ𝑓1(𝑧); 𝛾20 = 𝐸0𝐼0/𝑅 = 6𝜋(1 − 𝜈02)ℎ𝑓2(𝑧), 𝑧 = 𝑎/ℎ; (3.4) a h R T
𝑓1(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 0.17248𝑧 + 5.92134𝑧2− 10.7054𝑧3+ 31.5685𝑧4 − 67.47𝑧5+ 139.123𝑧6− 146.682𝑧7+ 92.3552𝑧8); 𝑓2(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 1.04533𝑧 + 4.5948𝑧2− 9.9736𝑧3+ 20.2948𝑧4
− 33.0351𝑧5+ 47.1063𝑧6− 40.7556𝑧7+ 19.6𝑧8).
Do đó, để phân tích dao động của dầm FGM bị nứt, độ lớn vết nứt được đề xuất ở đây được tính bằng
𝛾1 = 𝛾10𝜑1(𝑟𝑒, 𝑛) ; 𝛾2 = 12𝛾20𝜑2(𝑟3, 𝑛). (3.5) Độ lớn vết nứt 𝛾1, 𝛾2 được tính toán như vậy thực sự phụ thuộc vào cả thông số vật liệu và hình học của dầm FGM và chúng trở nên giống hệt như của dầm đồng nhất khi 𝐸𝑡 = 𝐸𝑏 = 𝐸0 hoặc 𝑟𝑒 = 1.