Bài toán DFME tối đa hóa giá trị Rs với ràng buộc về tổng công suất truyền của các trạm chuyển tiếp trong mạng truyền tin vô tuyến hoạt động theo kỹ thuật DF có sự xuất hiện của nhiều trạm nghe lén như sau:
max min
s.t. w†w PR .
Bài toán (2.10) là bài toán khó, hàm mục tiêu là hàm không lồi do đó chưa có phương pháp giải để tìm được nghiệm tối ưu toàn cục. Các phương pháp giải được công bố hiện nay thường là tìm nghiệm cận tối ưu (suboptimal) nên việc tìm nghiệm cận tối ưu tốt (cả về giá trị hàm mục tiêu và thời gian thực hiện) đang là thách thức cho các nhà nghiên cứu.
2.3.1 Phương pháp giải bài toán DFME hiện tại [T.6]
Trong bài báo [57], các tác giả đã đề xuất một phương pháp tìm nghiệm cận tối ưu (suboptimal) cho trường hợp đặc biệt bằng cách thêm điều kiện là triệt tiêu hoàn toàn tín hiệu đến các trạm nghe lén (Null steering) theo kỹ thuật truyền trực giao (phần 1.2.2.2), tức là khi này xảy ra điều kiện sau:
Hre †w = 0K 1.
Trong đó,Hre ( MxK) =hre1,MT , hre2,MT ,...,hreK,MT .
Với điều kiện này, hàm min trong (2.10) được triệt tiêu và vì bài toán chỉ xét đến ràng buộc về giới hạn tổng công suất truyền tại các trạm chuyển tiếp (w
w
s.t. w†w PR
Hre†w = 0K 1.
Do hàm log có tính đơn điệu tăng, nên việc giải bài toán (2.11) sẽ tương đương với giải bài toán sau:
với H rd =
Bằng cách thay ràng buộc
w†w =P (do giá trị Rs luôn tỷ lệ thuận với công suất truyền), khi này bài toán
R
(2.12) chuyển thành:
Tới đây, bài toán đã có thể giải tìm nghiệm trực tiếp, cụ thể, trường hợp triệt tiêu toàn bộ tín hiệu truyền từ trạm chuyển tiếp đến trạm nghe lén có nghiệm tối ưu là (theo [57])
w =
(IM
trong đó, Pre =Hre (H†
reHre )−1H†
re .
nghiệm cận tối ưu của bài toán DFME gốc do đã đưa thêm điều kiện là triệt tiêu hoàn toàn tín hiệu truyền đến các trạm nghe lén. Trên thực tế, tín hiệu đến các
trạm nghe lén có thể là rất nhỏ hoặc rất xấu để người nghe lén không thể khôi phục được bản tin nhưng không hẳn là bị triệt tiêu hoàn toàn.
2.3.2 Đề xuất giải thuật DCA-DFME giải bài toán DFME
Do bài toán (2.10) chưa có cách giải tìm nghiệm tối ưu toàn cục, cách giải được các tác giả trong [57] công bố chỉ là tìm nghiệm cận tối ưu đặc biệt, do đó việc nghiên cứu tìm nghiệm tốt hơn là cần thiết.
Phần này nghiên cứu đề xuất một phân tích quy hoạch DC phù hợp cho bài toán (2.10), sau đó áp dụng giải thuật DCA vào giải bài toán này. Thuật toán đề xuất được gọi là giải thuật DCA-DFME (DF Multi-Eavesdropper).
Bằng cách đặt biến, hàm mục tiêu của bài toán gốc (2.10) có thể được viết lại như sau:
R (w) = S = 1 2 với - Hrd = hrdh rd † , hrd = [hrd ,1 ,..., hrd ,M ]† , - Hre,j =h re, jhre, j† , hre,j = [ hrej ,1,..., hrej ,M ]† , j =1...K.
Bỏ qua hàm log (do có tính đơn điệu tăng) và chỉ quan tâm đến ràng buộc về tổng công suất truyền cực đại tại các trạm chuyển tiếp, bài toán gốc có thể được biến đổi tương đương như sau:
max 2
maxj=1..K (
w
min− 2+ w †H t w,t s.t. w †w PR 2+w †H re , jw t , j =1,2,..., K.
Định lý 2.3: Tính tương đương của bài toán (2.15) và bài toán (2.16):
(i) Nếux* là nghiệm của bài toán (2.15) thì (x* ,t* ) sẽ là nghiệm của bài toán (2.16) với t* = max j =1..K (2 +w †Hre,j w).
(ii) Nếu (x* ,t* ) là nghiệm của bài toán (2.16) thìx* cũng là nghiệm của bài toán (2.15).
Chứng minh:
Việc chứng minh của Định lý 2.3 được thực hiện tương tự như chứng minh của Định lý 2.1. trong mục 2.2.2■
Chuyển bài toán (2.16) thành dạng tương đương với các biến thực như sau:
min 0 − x,t s.t . xTB jx t − 2 , j =1,2,..., K xT x P , với Z = B Re(Rre ,j ) − j Im (Rre,j )
min g (t , x ) −h (t, x) t ,x s.t . xT Bjxt − 2, j =1, 2,..., K xTx P , R với g (t, x) = 0 vàh (t, x) =
Hàmh (t, x) là hàm lồi và smooth, đạo hàm của nó tại điểm (tl , xl )cho bởi
2 − Zxl 2 − (x l )T Zxl (tl )2 .
Với sự phân tách DC dạng g (t , x )− h (t, x) như (2.18), giải thuật DCA-DFME được đề xuất bằng cách áp dụng giải thuật DCA cho bài toán (2.18) trên như sau:
Lưu đồ giải thuật DCA-DFME:
INPUTE: Channel value matrix Bj, Z
INITIAL:x0 , t0 0, u0 = (t0 , x0 ), l 0
REPEAT:
CALCULATE:l=l+1 andul = (t l , xl ) by solve the convex problem:
min 0 − h (tl −1 , x l −1 ), u
u =(t ,x)
ul − ul −1
UNTIL: 1 +
Theo giải thuật DCA-DFME, các ma trận giá trị hệ số kênh truyền Bj và Z1
là các giá trị phức thể hiện độ lợi kênh truyền đã biết và cố định trong một lần thực nghiệm. Điểm ban đầu x0 có thể ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ hay số vòng lặp ở bước tiếp theo, tuy nhiên việc tìm được điểm ban đầu tốt vẫn đang là thách thức khoa học, trong nhiều trường hợp thì điểm ban đầu này được sinh ngẫu nghiên. Do bài toán quy hoạch trong giải thuật là bài toán quy hoạch lồi nên việc tìm nghiệm ul= (tl , xl ) có thể thông qua các công cụ giải bài toán quy hoạch lồi. Giải thuật DCA-DFME có tính chất hội tụ tức là điều kiện dừng luôn được thỏa mãn, giá trị dung sai được chọn sao cho sự thay đổi của giá trị hàm mục tiêu hoặc giá trị biến tại các vòng tiếp theo là không đáng kể.
Định lý 2.4: Tính chất hội tụ của DCA-DFME.
- Giải thuật DCA-DFME sinh ra dãyul = (tl , xl ) mà dãy giá trị của hàm mục tiêu tương ứngf (ul ) là đơn điệu giảm.
- Mọi điểm tới hạn u* = (t* , x* ) của dãy ul = (tl , xl ) là điểm tới hạn
của bài toán (2.17).
Chứng minh:
Việc chứng minh của Định lý 2.4 được thực hiện tương tự như chứng minh của Định lý 2.2. trong mục 2.2.2■
Như vậy, bằng các phép biến đổi tương đương phù hợp, bài toán DFME với ràng buộc về tổng công suất truyền tại các trạm chuyển tiếp đã chuyển thành bài toán quy hoạch DC, có dạng hiệu của hai hàm lồi tạo cơ sở cho việc áp dụng giải thuật DCA để đề xuất giải thuật DCA-DFME như ở trên. Đây là phương pháp giải mới cho bài toán này, tính chất hội tụ theo Định lý 2.2 khẳng định giải thuật DCA- DFME không thể rơi vào vòng lặp vô hạn mà sẽ thỏa mãn điều kiện kết thúc sau một số vòng lặp nhất định, nội dung thực nghiệm ở phần sau sẽ thể hiện tính hiệu quả của phương pháp đề xuất so với phương pháp giải đã được công bố.