Bài toán (3.1) là một bài toán quy hoạch không lồi (có hàm mục tiêu là không lồi) nên chưa có phương pháp giải trực tiếp để tìm nghiệm tối ưu toàn cục. Trong [25], các tác giả đã trình bày phương pháp giải để tìm nghiệm cận tối ưu (SubOpt-AF1E) như sau:
Từ bài toán (3.1), bỏ qua hàm log sẽ có bài toán tương đương như sau: (3.2) max
w
s.t. w†w P
(
Bằng cách đặt biếnW =ww† , biến đổi bài toán về dạng:
max tr (HW)+1
wtr (GW)+1 s.t. tr (W)PR
Bài toán (3.3) vẫn là bài toán rất khó giải trực tiếp để tìm nghiệm toàn cục, đặc biệt với ràng buộc không lồi rank (W) =1, nên thông thường bài toán này được giải tìm nghiệm cận tối ưu bằng cách bỏ qua ràng buộcrank (W) =1 này. Khi bỏ
qua ràng buộcrank (W) =1, các tác giả trong [57] đề xuất cách giải để tìm nghiệm cận tối ưu bằng phương pháp SDP (SemiDefinite Programming) như sau:
Bằng cách đặt biến t
1
biến đổi về dạng sau: max t1t2 W, t1 ,t2 s.t. tr (W (H −t 2G))t 2 −1 tr (W (A +G −t1 (B +H)))t1 −1 W 0 tr (W)PR (
Xét trường hợp bài toán (3.4) chỉ quan tâm đến ràng buộc về giới hạn tổng công suất truyền của các trạm chuyển tiếp, có thể tính trực tiếp giá trị
maximum của t1 và t2 một cách riêng rẽ như sau:
t = maxw†Aw +w†Gw +1 1,max w †w PR w†Bw +w†Hw +1 w † A + 1 + G w max PR = w†w PR 1 w † B + +H w PR = max A + P1 +G , B + P1 +H . RR max (A, B)
Chú ý: -Với cặp ma trận phức đối (Hermitian) A, B n n thì cặp giá trị ( , ψ)
được gọi là cặp giá trị riêng và véc tơ riêng mở rộng nếu thỏa mãn
Aψ =B ψ[81], [82].
- Ma trận Hermitian là ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính là số thực, các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp.
Tương tự như trên, giá trị maximum của t2 được tính như sau:
= w†Hw +1
t2,max max
w †Gw +1w†wPR
= max
=
Vớit1,max vàt2,max được tính độc lập như ở trên thì thông thường các giá trị
này sẽ đạt được tại các nghiệmW =ww† khác nhau. Để tối đa hoá giá trị truyền tin
mật, các tác giả trong [57] đã đưa ra một phương pháp giải như sau: Với giá trị W ở
trên tương ứng với giá trịt1,max chúng ta có thể tính ra giá trị t2 tương ứng
tr (HW)+1
t
2 =
tr (GW)+1 ( t
2,max
được tính bằng cách thay W đạt được từ t
1,max
).
Khi này giá trị truyền tin mật có thể đạt được của mô hình AF có một trạm
nghe lén với ràng buộc về tổng công suất truyền tại các trạm chuyển tiếp sẽ là Rs =
log(t1,max t2,max ) và được gọi là tốc độ mật có thể đạt được (achievable secrecry rate). Từ giá trị tốc độ mật có thể ở trên, trong [57] tiếp tục đề xuất thuật toán tìm kiếm quay vòng (iteratively search) trên t1 và t2 để tìm ra giá trị tối ưut1,opt vàt2,opt
Tìm W
s.t. tr (W (H −t 2G)) t2 −1
tr (W (A +G −t1 (B +H))) t1 −1
W 0
tr (W) Pr .
Xét trường hợp bài toán (3.4) chỉ quan tâm đến ràng buộc về giới hạn công suất truyền riêng rẽ của các trạm chuyển tiếp, tương tự như với ràng
buộc về tổng công suất truyền của các trạm chuyển tiếp, các giá trị t1,max vàt2,max
trước tiên cũng được tính độc lập, tuy nhiên không thể tính trực tiếp qua ⋋ như ở trên. Cụ thể,t1,max vàt2,max được tính như sau:
t = max 1,max W,t 1 tr ((B +H )W)+1 s.t. tr (W (A +G −t1 (B +H))) t1 −1 W 0 tr (eme†mCW) pm , m = 1, , M và t = max 2,max W,t2 s.t. tr (W (H −t2G)) t2 −1 W 0 tr (eme† mCW) pm , m = 1,, M .
Trong thực tế, với mỗi giá trị t1 thì miền khả thi (feasible set) trong (3.6) là lồi. Nếu với mỗi giá trị t1 nhận được mà bài toán tối ưu lồi khả thi (convex feasibilty) sau đây:
Tìm W
s.t. W 0
tr (W (A +G −t1 (B +H))) t1 −1,
là khả thi thì sẽ có t1 . Ngược lại, nếu bài toán kiểm tra tính khả thi lồi ở trên
là bất khả thi thì sẽ cót1,max t1 . Do vậy, người ta có thể kiểm tra khi nào thì giá trị
tối ưu của bài toán tối ưu bán lồi (quasiconvex optimization problem) trong (3.6) là lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị đã cho t1 bằng cách giải bài toán quy hoạch khả thi lồi (3.8).