Trong phần này trình bày quá trình phân tách bài toán bảo mật AFME thành dạng bài toán quy hoạch của hiệu hai hàm lồi sau đó đề xuất giải thuật DCA- AFME bằng cách áp dụng giải thuật DCA để giải bài toán tối đa hóa giá trị SNR nhận được tại các trạm thu đích cho bài toán (3.14). Phần tiếp sau sẽ trình bày kết quả thực nghiệm so sánh thuật toán đề xuất với cách giải đã được một số nhà nghiên cứu công bố.
Bằng cách định nghĩa
1−
k+ =
0, c¸c trêng hîp kh¸c,
Bài toán (3.14) có thể được biến đổi thành dạng như sau:
min 0 −u †Hsu u s.t . u †C+u −u †C−u 1, k k u †Diu 1, i M , với =h H s s và C− k =diag(ρ− k ).
Chuyển các tham số và biến ở dạng số phức của bài toán (3.16) về dạng số thực và bằng cách đặt biến như sau:
C+ rk Re Im C− rk
Bài toán (3.16) khi này được biến đổi dưới dạng số thực như sau: min0 −xTH x
x
s.t . xTC+x −xTC−x 1, k
rk
xTDirx 1, i M ,
Bài toán (3.17) ở trên thực sự là một dạng của quy hoạch DC mở rộng cho hàm mục tiêu và K ràng buộc đầu tiên, có dạng:
vớiG (x) = 0 và trơn (smooth).
min − ( xt−1 )THsxt−1 − ( x −xt−1 ), 2 x,t s.t . xTC+ kx − ( xl−1 )TC− kxl−1 − x −xl−1 , 2(C− kxl−1 ) x 1 +t , k , xTDirx 1, i M , t 0.
Từ các phân tích trên, thuật toán DCA-AFME được đề xuất bằng cách áp dụng giải thuật DCA để giải quyết bài toán này như lưu đồ sau:
LƯU ĐỒ GIẢI THUẬT DCA-AFME
INPUT: h s , h d , Hil , , t and t.
INITIAL:x0 , l = 0
REPEAT:
CALCULATE l = l +1and xl by solve the following convex problem:
s.t . xTC+x − 2(C−xl−1 )Tx x −xl−1 k k xTDirx 1, i M t 0. UNTIL: f ( xl ) −f ( xl−1 ) 1+ f ( xl−1 ) and tt with f ( xl ) = ( xl )THsxl . OUTPUT: R s
Chú ý: Theo thuật toán DCA2 trong [67] cho trường hợp ràng buộc có dạng
DC, tham số phạt được cập nhật một lượng l
Trong phần thực nghiệm thuật toán DCA-AFME ở phần sau, giá trị được chọn theo phương pháp heuristic, kết quả thực nghiệm cho thấy với 10 20thì thuật toán kết thúc với t rất nhỏ (cỡ 1e-11).
Tính chất hội tụ của thuật toán DCA-AFME
Định lý 3.3:
- Giải thuật DCA-AFME sinh ra dãy xl và dãy giá trị của hàm mục tiêu tương ứng f (xl ) là đơn điệu giảm.
- Mọi điểm tới hạn xl của dãy xl là điểm tới hạn của bài toán (3.17).
Chứng minh:
Có thể nhận thấy dãy xl là bị chặn do các ràng buộc của bài toán (3.17). Thực vậy, với Di được xác định theo (3.14) và xTDirx 1, i M theo (3.17), ta có
xT 1+ 1 h idr x 1, xi =x1 ,..., x2M T , xi2 x12+x22 + ...+x22M x
x
Hơn nữa, tất cả các hàm H1(x) , H2k ( x) và G2k ( x) đều khả vi và có đạo hàm được xác định bởi: H1 ( x)= 2 Hx, x 2M, Hk ( x)= 2C− x, x 2M 2 rk , .
Theo Định lý 2 trong [67] khẳng định nếu thuật toán dừng sau một số hữu hạn bước thì dãy xl hội tụ đến một điểm dừng của bài toán (3.17)■
Như vậy, bằng các phép biến đổi tương đương phù hợp, bài toán AFME với ràng buộc về tổng công suất truyền tại các trạm chuyển tiếp hoặc ràng buộc về công suất truyền riêng tại mỗi trạm chuyển tiếp đã chuyển thành bài toán có dạng quy hoạch của hiệu hai hàm lồi để tạo cơ sở cho việc đề xuất giải thuật DCA-AFME bằng cách áp dụng giải thuật DCA như ở trên. Đây là phương pháp giải mới cho bài toán này, phần thực nghiệm ở phần dưới sẽ thể hiện tính hiệu quả của giải thuật DCA-AFME đề xuất so với phương pháp giải tìm nghiệm SDR đã được công bố.