Một số khái niệm của xác suất

- Sai lầm của một bài toán kiểm định giả thuyết thống kê Kiểm định giả thuyết về so sánh tham số với một giá trị.

1. Một số khái niệm của xác suất

1.1 Giải tích tổ hợp

- Tổ hợp: là số cách chọn ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử k n  sao cho k phần tử đó không lặp và không phân biệt thứ tự. Ký hiệu: ! ! ! phần tử đó không lặp và không phân biệt thứ tự. Ký hiệu: ! ! !

k n n C k n k  

- Quy tắc cộng: Giả sử hiện tượng A được thực hiện nếu B được thực hiện hoặc nếu C được thực hiện. Khi đó để nhận được A ta có nBnC cách thực hiện với n nB, C là số cách thực hiện B và C tương ứng.

- Quy tắc nhân: Giả sử hiện tượng A được thực hiện bởi k bước liên tiếp (k = 2, 3,….) trong đó bước thứ i có ni cách thực hiện. Khi đó, để nhận được A ta có n n1. ....2 nk

cách thực hiện.

1.2 Phép thử và biến cố

- Việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là một phép thử.

- Phép thử mà ta không thể khẳng định được trước kết quả nào sẽ xảy ra, nhưng ta có thể liệtkê tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là phép thử ngẫu nhiên.

- Kết quả của phép thử được gọi là biến cố.

Ví dụ:Gieo một con xúc xắc là phép thử, xúc xắc xuất hiện mặt 1 hay 2,…, hay 6 chấm là biến cố.

Một xạ thủ bắn một viên đạn vào bia là phép thử, xạ thủ bắn trúng hay không trúng bia là biến cố.

1.3 Phân loại biến cố

Có nhiều loại biến cố, nhưng ở đây chúng ta chỉ đưa ra một vài loại biến cố sau: - Biến cố chắc chắn: Là biến cố chắc chắn xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu: W. - Biến cố không thể: Là biến cố không thể xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu: . - Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra cũng không thể xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu: A, B, C,…, A A1, 2,....,An.

- Biến cố sơ cấp: Là biến cố có thể xảy ra của phép thử nhưng không thể phân tích nhỏ hơn được nữa.

Tài liệu giảng dạy Môn Thống kê xã hội học 74 Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử được gọi là không gian các biến cố sơ cấp và ký hiệu W.

Ví dụ 1: Gọi Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt i chấm (i = 1, 2,…, 6) thì

1, 2,...., 6

A A A là các biến cố sơ cấp; Gọi B là biến cố thu được mặt có số chấm chẳn thì B không là biến cố sơ cấp.

- Biến cố thuận lợi: Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Kí hiệu: AB.

Ví dụ 2: Tung con xúc xắc. Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấn, B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó ta nói AB.

1.4 Định nghĩa xác suất

* Định nghĩa xác suất: Biến cố ngẫu nhiên A có hai khả năng: xảy ra và không xảy ra, biết được khả năng này ta suy ra ngay khả năng kia. Vì vậy, để nghiên cứu biến cố ngẫu nhiên A chúng ta xác định tương ứng với biến cố A một con số, ký hiệu P(A), nói lên khả năng xảy ra biến cố A (do đó 1 – P(A) là con số nói lên khả năng không xảy ra biến cố A) và được gọi là xác suất của biến cố A. Một cách tính P(A) là dùng định nghĩa cổ điển

Ta có: P A  m

n

 trong đó m là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A; n là số biến cố sơ cấp có thể xảyra khi phép thử được thực hiện.

Ví dụ 3: Trong một hộp đựng 20 quả cầu, trong đó có 14 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 5 quả cầu từ trong hộp. Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ. Biết rằng các quả cầu là cân đối và giống nhau.

Giải: Gọi B là biến cố trong 5 quả cầu lấy ra có 3 quả cầu đỏ Ta có:   143 62 5 20 . 0,35 C C m P B n C   

Ví dụ 4: Đoàn Thanh niên tổ chức vui chơi, kết hợp quay số có thưởng. Ban tổ

chức đã phát ra 1000 vé (được đánh số từ 000 đến 999). Tìm xác suất để khi quay giải nhất ta nhận được:

a/ Vé có chữ số hàng đơn vị chẳn. b/ Vé có 3 chữ số khác nhau. c/ Vé có 3 chữ số trùng nhau.

d/ Vé có chữ số đầu là 8 và hai chữ số còn lại khác nhau.

Giải: Ta có phép thử là 3 lần quay số (3 lần chọn), mà mỗi lần quay một chữ số là chọn chữ số đó trong 10 chữ số từ 0 đến 9. Do đó, số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là:

3

10.10.10 10

n 

Tài liệu giảng dạy Môn Thống kê xã hội học 75   101 101 51 3 . . 0,5 10 C C C P A  

b/ Gọi B là biến cố vé có 3 chữ số khác nhau

  101 91 813 3 . . 0,72 10 C C C P B  

c/ Gọi C là biến cố vé có 3 chữ số trùng nhau

  101 3 .1.1 0,01 10 C P C  

d/ Gọi D là biến cố vé có chữ số đầu là 8 và hai chữ số còn lại khác nhau

  101 91 3 1. . 0,09 10 C C P D   * Một số tính chất của xác suất: 1.  A W; 0P A 1.

2. P  0 (với  là biến cố không thể). 3. P W 1 (với W là biến cố chắc chắn).

4. P A P A 1 (Khả năng xảy ra A cộng với khả năng không xảy ra A là 1). 5. Nếu AB thì P A P B .

* Ý nghĩa của xác suất: Xác suất của một biến cố là con số đặc trưng cho khả năng xảy ra ít hay nhiều của biến cố đó. Biến cố có xác suất càng lớn thì càng dễ xảy ra và ngược lại biến cố có xác suất càng nhỏ thì càng khó xảy ra.

1.5 Công thức Bernoulli:

Ta tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ xảy ra 2 trường hợp. Hoặc biến cố A xảy ra với xác suất p hoặc biến cố A không xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó xác suất để trong n phép thử độc lập, biến cố A xuất hiện k lần được tính bằng công thức: k k n k

k n

P C p q  (công thức Bernoulli)

Ví dụ 5: Giả sử tỷ lệ người dân tham gia giao thông ở thành phố Hà Nội có hiểu biết cơ bản về luật giao thông là 80%. Nếu chọn ngẫu nhiên 20 người đang tham gia giao thông trên đường. Hãy tính xác suất của các tình huống sau:

a/ Có 15 người hiểu biết luật giao thông.

b/ Có 8 người không hiểu biết về luật giao thông.

Giải: a/ Gọi A là biến cố có 15 người hiểu biết luật giao thông Ta có: n = 20, p = 80% = 0,8, q = 0,2 Suy ra:   15   15 5

15 20 0,8 . 0, 2 0,175

Tài liệu giảng dạy Môn Thống kê xã hội học 76 b/ Gọi B là biến cố có 8 người không hiểu biết luật giao thông

  12   12 8

12 20 0,8 . 0, 2

P B P C hay   8    8 12

8 20 0, 2 . 0,8 0,022

P B P C 

Ví dụ 6: Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại ngữ gồm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu hỏi. Tính xác suất để:

a/ Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm). b/ Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.

Giải: a/ Gọi A là biến cố sinh viên vừa đủ điểm đậu

Ta có: + Sinh viên trả lời đúng câu hỏi với xác suất là 1 4

p + Sinh viên trả lời sai với xác suất là 3

4 q   5 5 5 5 10 1 3 . 0,058 4 4 P A P C             

b/ Gọi B là biến cố sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi B là biến cố sinh viên không chọn được câu hỏi nào

Ta có:   0 0 10 10 0 10 1 3 3 . 4 4 4 P B P C                       3 10 1 1 0,056 4 P B P B           