ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ

* Mục tiêu học tập:Sau khi học xong chương này người học có thể - Ước lượng điểm cho trung bình, tỷ lệ, phương sai, Median, Mode. - Ước lượng khoảng cho trung bình, tỷ lệ.

3.1 Bài toán ƣớc lƣợng:

Giả sử  là tham số cần ước lượng, WX X X1, 2,...,Xnlà mẫu ngẫu nhiên. Để ước lượng  ta phải dựa vào mẫu, cách tốt nhất là ta dùng một hàm nào đó của mẫu, để đơn giản ta ký hiệu hàm đó là hàm thống kê * 

1, 2,...., n

X X X

 . Như vậy, ta sẽ không xét các ước lượng là hằng số, tức là không phụ thuộc gì vào mẫu. Ước lượng * 

1, 2,...., n

X X X

 là biến

ngẫu nhiên, nó sẽ nhận giá trị * 

1, ,....,2 n

x x x

 khi mẫu nhận giá trị cụ thể

 1 2 

wX  x x, ,....,xn

Có hai phương pháp để ước lượng:

- Ước lượng điểm: Chỉ ra   0 nào đó để ước lượng.

- Ước lượng khoảng: Chỉ ra khoảng  1; 2 chứa  sao cho

 1 2 1

P       (với 1 là độ tin cậy cho trước).

3.2 Ƣớc lƣợng điểm

3.2.1 Các tiêu chuẩn của ước lượng

Vì có rất nhiều hàm của mẫu, do đó có rất nhiều ước lượng cho , vấn đề là chọn cái nào. Vì vậy, cần xây dựng các tiêu chuẩn để đánh giá các ước lượng.

Tài liệu giảng dạy Môn Thống kê xã hội học 32

* Ước lượng không chệch: Thống kê * * 

1, 2,...., n

X X X

  được gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu * 

1, 2,..., n

E X X X 

* Ước lượng chệch: Nếu *   

1, 2,..., n E X X X   b   thì   * 1, 2,...., n X X X

 được gọi là ước lượng chệch, b  là độchệch tương ứng.

Trong Thống kê Toán học, người ta đã xây dựng gần chục tiêu chuẩn để đánh giá các ước lượng. Với tài liệu này chúng ta chỉ xét tiêu chuẩn không chệch và tiêu chuẩn chệch. Đó là tiêu chuẩn khá đơn giản, còn các tiêu chuẩn khác chúng ta không xét.

3.2.2 Ước lượng điểm cho trung bình

Ước lượng điểm cho trung bình E(X) (hoặc cho a) là X . Đó là ước lượng không chệch E X a.

3.2.3 Ước lượng điểm cho phương sai

Ước lượng điểm cho phương sai D(X) (hoặc cho 2) là s2 hoặc s2.

2

s là ước lượng không chệch E s  2 2, còn s2 là ước lượng chệch với độ chệch 2 n   ;   2 2 2 E s n          .

3.2.4 Ước lượng điểm cho tỷ lệ

Ước lượng điểm cho tỷ lệ P X A (hoặc cho p) là * m p

n

 , trong đó n là số quan sát, m là số lần xảy ra biến cố A trong mẫu đã cho, p* cũng là không chệch

 * m 1   np E p E E m p n n n               .

Ví dụ 1: Các khu chế xuất của các công ty liên doanh đã thu hút khá nhiều lực lượng lao động là thanh niên, nhất là thanh niên nông thôn. Để đánh giá thu nhập của các công nhân này người ta đã điều tra ngẫu nhiên 50 công nhân. Kết quả cho thấy thu nhập theo tháng của từng người (đơn vị là nghìn đồng Việt Nam) cho ở 2 dạng mẫu như sau:

1/ Mẫu thu gọn: Thu nhập 650 680 700 720 750 780 800 820 850 Số công nhân 6 7 5 5 9 6 9 2 1 2/ Mẫu dạng khoảng: Khoảng thu nhập [650 ; 700] [700 ; 750] [750 ; 800] [800 ; 850] Số công nhân 13 10 15 12

Tài liệu giảng dạy Môn Thống kê xã hội học 33 b/ Hãy ước lượng bình phương độ tản mát mức thu nhập của công nhân khu chế xuất.

c/ Hãy ước lượng độ lệch tiêu chuẩn của mức thu nhập của công nhân ở khu chế xuất.

d/ Hãy ước lượng tỷ lệ công nhân có thu nhập thấp 700.000d, nghĩa là tỷ lệ công nhân có thu nhập chỉ đủ nuôi sống bản thânở mức thấp.

Giải: Trong 2 dạng mẫu trên ta chỉ xét trường hợp mẫu dạng bảng Ta có: x737,6 ; s55,011 ; s 55,57

a/ Mức thu nhập trung bình của công nhân ở khu chế xuất là 737600 đồng.

b/ Bình phương độ tản mát của mức thu nhập của công nhân ở khu chế xuất là

 2

55,57 3088,0249.

c/ Độ lệch tiêu chuẩn của mức thu nhập của công nhân ở khu chế xuất là 55,57 đồng.

d/ Tỷ lệ công nhân có thu nhập thấp là 18 0,36 36% 50

m p

n

   

3.2.5 Ước lượng điểm cho Mode

Ký hiệu M0 là ước lượng điểm cho Mod(X).