Khái niệm về biến sóng được xây dựng trên cơ sở lý thuyết thụ động và được phát triển bởi Desoer và Vidyasagar từ năm 1975, sau đó tiếp tục được Niemeyer và E.Slotine phát triển ứng dụng trong các hệ vận hành song phương phản hồi lực có trễ [9][10]. Lý thuyết trên được củng cố thêm do những khái niệm vật lý về sóng không ngừng được nghiên cứu và phát triển. Dưới đây là định nghĩa về biến sóng đã được Niemeyer và E.Slotine xây dựng.
62
a) b) Hình 4.1. Mô tả các biến công suất trên không gian sóng Hệ với các biến công suất (a) và trên không gian sóng (b)
Xét một hệ như trên hình 4.1.a, ta đã biết năng lượng được đưa vào hệ: T Px F
với (x,F) là các biến công suất. Trong trường hợp tổng quát, F và x là những biến mang thông tin về ứng suất và dòng tương ứng, còn đối với trường hợp khảo sát F và x là những biến mang thông tin về lực và tốc độ.
Giả sử bây giờ đặt hệ trong không gian sóng với hai biến sóng (u,v) có chiều như trên hình 4.1.b. Theo lý thuyết về sóng tán xạ, dòng năng lượng trong hệ thống được chia ra thành hai thành phần là dòng năng lượng vào và dòng năng lượng ra của hệ. Hai thành phần năng lượng này được đặc trưng bởi các sóng vào và ra. Năng lượng được đưa vào một hệ có thể được tính như sau:
1 1
2 2
T T T
Px F u u v v (4-1) Dễ dàng nhận thấy, theo chiều qui ước dương của dòng năng lượng (mục 2.1.3), thành phần năng lượng 1 .
2
T
u ucùng chiều với chiều qui ước và là thành phần năng lượng mang dấu dương. Do đó vector u làm tăng dòng năng lượng chảy vào trong hệ thống và u tương ứng là thành phần sóng đầu vào của hệ. Ngược lại, thành phần năng lượng 1 .
2
T
v v mang dấu âm và làm giảm dòng năng lượng trong hệ thống, v tương ứng là thành phần sóng đầu ra của hệ.
Để biến những biến công suất đầu vào ( hình 4.1.a) trở thành các biến sóng (hình 4.1.b) cần có một chuyển đổi giữa hai đại lượng trên. Dựa trên lý thuyết sóng và biểu thức (4-1) ta có phép chuyển đổi các biến công suất (x, F) thành các biến
63 sóng như sau: . 2 b x F u b . 2 b x F v b (4-2)
Biểu thức (4-2) xuất hiện thêm đại lượng b là đại lượng đặc trưng cho đặc tính trở kháng sóng, b có thể là một hằng số xác định dương hoặc một ma trận đối xứng xác định dương. Giá trị của b sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến đáp ứng của hệ thống, việc lựa chọn trở kháng sóng thích hợp có ý nghĩa rất quan trọng để hệ thống có chất lượng yêu cầu. Ý nghĩa của b sẽ được phân tích trong phần sau.
Một tính chất quan trọng của phép biến đổi sóng là tính song ánh. Mỗi một biến công suất (x, F) chỉ có một ảnh duy nhất trên không gian sóng và ngược lại mỗi ảnh trên không gian sóng sẽ tồn tại một biến công suất duy nhất. Điều này cho thấy thông tin được bảo toàn, không bị sai lệch do phép chuyển đổi này.
Nếu biết các thông tin về biến sóng, có thể xác định được biến công suất như sau: 1 ( ) 2 x u v b ( ) 2 b F uv (4-3) Ngoài ra, ta cũng có thể xác định một tổ hợp bất kỳ của biến công suất và biến sóng. Ví dụ nếu biết thông tin về tốc độ x và thành phần sóng v, ta có thể xác định được lực và thành phần sóng u:
F bx 2bv u v 2bx (4-4)
a) b) Hình 4.2. Sơ đồ cấu trúc của phép biến đổi sóng (wave transformation)
Hai chuyển đổi sóng (a) và (b) cho hiệu quả như nhau.
64
Hình 4.2.b biểu diễn một phép chuyển đổi sóng khác trong đó các biến sóng được tính như sau: . 2 b x F u b . 2 F b x v b (4-6) Biểu thức (4-2) và (4-6) cho thấy hai chuyển đổi trên có sóng ra hệ thống giống nhau còn sóng vào hệ thống v chỉ lệch pha nhau 180o, thông tin về năng lượng giống hệt nhau do đó không làm thay đổi năng lượng cấp cho hệ thống trong biểu thức (4-1).