a. Khái niệm hệ tuyến tính thụ động
Đối với hệ tuyến tính có thời gian không biến đổi (LTI system) điều kiện để hệ là thụ động có thể được diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Dưới đây là khái niệm hệ tuyến tính thụ động được xây dựng trên miền Laplace.
Hệ tuyến tính SISO (một vào – một ra) được gọi là thụ động nếu và chỉ nếu hàm truyền của nó trên miền Laplace là hàm thực – dương. Hệ sẽ được gọi là thụ động chặt nếu hàm truyền của nó là hàm phức thực – dương chặt [11].
Đối với hệ MIMO (nhiều vào – nhiều ra), hệ là thụ động khi và chỉ khi ma trận hàm truyền của hệ là những hàm thực – dương.
b. Khái niệm hàm thực dƣơng
Để đơn giản trước tiên ta xét với hệ SISO:
Định nghĩa: Một hàm phức G(s) với biến phức s j được gọi là: - Hàm thực dương nếu có Re(s) > 0 thì cũng có Re(G(s)) >0.
- Thực dương chặt nếu có Re(s) ≥0 thì cũng có Re(G(s)) ≥ 0. Với Re(G(s)) là phần thực của hàm phức G(s).
Như vậy hàm thực dương là một ánh xạ từ trường số phức C vào trường số phức C sao cho ảnh G(s) của các số phức nằm bên phải mặt phẳng phức C của s cũng nằm bên phải mặt phẳng phức C của G(s).
27
Nếu một hệ SISO có hàm truyền G(s) thỏa mãn điều kiện Re(G(s))> 0 khi Re(s)> 0 thì hệ là một hệ thụ động. Tuy nhiên việc kiểm tra một hàm truyền có thỏa mãn Re(G(s)) ≥0 với mọi s có Re(s) ≥ 0 hay không gặp rất nhiều khó khăn, vì thế thay vì xác định theo định nghĩa trên ta có thể kiểm tra một hàm truyền G(s) có phải là một hàm thực dương không theo các phương pháp khác. Một trong những phương pháp đơn giản là dựa vào đặc tính tần – biên – pha của G(s).
Định lý: Nếu hàm phức G(s) là hàm bền ( có tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo) và hợp thức ( số bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng số bậc của mẫu số) thì nó sẽ là hàm thực dương khi và chỉ khi đồ thị đặc tính tần – biên – pha G (jω), 0 ≤ω≤∞ không đi sang phía trái trục ảo, tức là khi và chỉ khi có Re(G(jω))≥0.
( Phần chứng minh định lý trên được trình bày trong mục A1.1 Phụ lục I. )
Cũng tương tự như hệ SISO, ta có thể xác định một ma trận hàm truyền có phải là hàm xác định dương hay không dựa vào đáp ứng tần – biên – pha.
Một ma trận hàm truyền là thực dương nếu và chỉ nếu:
a) G(s) là ổn định, nghĩa là không có điểm cực nằm bên phải mặt phẳng phức. b) G(jω) + G*(jω) ≥ 0 khi -∞≤ ω ≤ +∞. Với G*(jω) là ma trận chuyển vị phức
liên hợp của G(jω).
c. Những tính chất cơ bản của hàm thực dƣơng
a) G(s) là pha cực tiểu.
b) Sự dịch pha được giới hạn trong ±90o c) Bậc quan hệ -1, 0 hoặc -1.
d) Đặc tính Nyquist nằm trong nửa kín của mặt phẳng phức bên phải trục ảo.