Khỏi niệm, phƣơng trỡnh vi phõn của đƣờng đàn hồi

Xột một thanh chịu đồng thời tải trọng ngang và tải trọng dọc trong mặt phẳng

yz. Ở trạng thỏi biến dạng nhƣ trờn hỡnh (3.9) ta thấy khụng chỉ tải trọng ngang mà cả tải trọng dọc cũng gõy ra mụmen uốn. Mụmen uốn do tải trọng dọc tỷ lệ với độ vừng, nờn khi thanh cú độ mảnh lớn thỡ trị số mụ men này là đỏng kể và cần đƣa vào tớnh

54

toỏn. Bằng phƣơng phỏp mặt cắt, ta xột thanh ở trạng thỏi biến dạng, ta tỡm đƣợc trị số của mụ men uốn

  1 M SyRzF z a  F1 F1 F2 S R a z y y S R M

Hỡnh 3.9: Thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời

Lƣợng Sy là mụ men uốn do lực dọc; lƣợng trong múc vuụng là mụ men uốn chỉ do tải trọng ngang, ký hiệu là M và xỏc định bỡnh thƣờng nhƣ khi khụng cú tải trọng dọc. Khi đú biểu thức của mụ men uốn sẽ đƣợc viết tổng quỏt là:

M MSy (3.21)

Biểu thức (3.21) cho thấy nội lực khụng những phụ thuộc vào ngoại lực mà cũn phụ thuộc vào biến dạng, đú là một đặc điểm của bài toỏn đang xột. Độ vừng đƣợc xỏc định theo phƣơng trỡnh vi phõn đƣờng đàn hồi:

'' M y

EI

  (3.22)

Thay giỏ trị (3.21) vào (3.22), sau khi rỳt gọn ta cú: 2 '' x x M k y y EI    (3.23) Trong đú: 2 x k S EI  (3.24) Giải phƣơng trỡnh vi phõn cấp hai khụng thuần nhất (3.23) kết hợp cỏc điều

kiện biờn ta tỡm đƣợc độ vừng y, sau đú tớnh mụ men uốn theo (3.21) Nghiệm tổng quỏt của (3.23) sẽ là:

*

'' y

y  y 

Trong đú: *

y - là nghiệm tổng quỏt của phƣơng trỡnh thuần nhất yC c1 osz C 2sinz

y - là nghiệm riờng của phƣơng trỡnh cú vế phải, phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của mụ men uốn ngang M , do đú,phụ thuộc vào dạng cụ thể của tải trọng ngang.

55 toỏn một cỏch gần đỳng nhƣ sẽ trỡnh bày dƣới đõy.