Trong phần này chúng ta thảo luận về sự tương đương của hai tập phụ thuộc hàm. Một tập hợp các phụ thuộc hàm E được phủ bởi một tập các phụ thuộc hàm F - hoặc F phủ E - nếu mỗi một phụ thuộc hàm trong E đều ở trong F+, điều đó có nghĩa là mỗi phụ thuộc hàm trong E có thể suy diễn được từ F. Hai tập phụ thuộc hàm E và F là tương đương nếu E+ = F+. Như vậy tương đương có nghĩa là mỗi phụ thuộc hàm trong E có thể suy diễn được từ F và mỗi phụ thuộc hàm trong F có thể suy diễn được từ E.
Cho hai tập phụ thuộc hàm E và F. Để chứng minh hai tập phụ thuộc hàm này tương đương, ta phải chứng minh các phụ thuộc hàm của E đều suy ra được từ F và ngược lại các phụ thuộc hàm của F đều suy ra được từ E. Để chứng minh phụ thuộc hàm X→Y suy ra được từ tập phụ thuộc hàm F chúng ta có thể thực hiện theo hai cách:
a. Áp dụng các quy tắc suy diễn để biến đổi các phụ thuộc hàm trong F cho đến khi nhận được X → Y.
b. Áp dụng bổ đề 3. 1, tính X+ (bao đóng của tập thuộc tính ở vế trái). Nếu X+
⊇Y thì X →Y suy ra được từ F Ví dụ : Xét hai tập phụ thuộc hàm
F = {A →C, AC → D, E→AD, E →H } E = { A →CD, E → AH } E = { A →CD, E → AH }
+ Ta chứng minh hai tập phụ thuộc hàm này là tương đương theo cách a.
Chứng minh E phủ F: E = { A →CD, E → AH } ={A → C, A → D, E → A, E → H} (áp dụng QT4 – chiếu) = {A → C, A→ D, E → D, E→ A, E →H} (áp dụng QT3, bắc cầu) = {A → C, A → D, E → AD, E → H} (áp dụng QT5 – hợp) = { AC → C, A → D, E → AD, E → H} (áp dụng QT2) = { AC → D, E → AD, E → H, A→ C} (áp dụng QT3)
Chứng minh F phủ E:
F= {A →C, AC → D, E→AD, E →H }
= {A→ C, A → D, E → A, E → D, E → H} (QT4, QT6)
= {A → CD, E → AH} (vì E → A, A → D lên có thể bỏ E → D) + Ta chứng minh hai tập phụ thuộc hàm này là tương đương theo cách b.
Chứng minh F phủ E:
Tìm bao đóng của các vế trái của các phụ thuộc hàm trong E theo F. Áp dụng thuật toán 3. 1 ở trên, ta có
{A}+ = { A, C, D }; {E}+ = {E, A, D, H},
ta thấy các bao đóng này chứa các vế phải tương ứng. Từ đó suy ra F phủ E. Chứng minh E phủ F :
Tìm bao đóng của các vế trái của các phụ thuộc hàm trong F theo E. Ta có {A}+ ={A, C, D },
{AC}+ = { A, C, D},
{E}+ = { E, A, H}, ta thấy các bao đóng này chứa các vế phải tương ứng. Từ đó suy ra E phủ F.
Như vậy, E tương đương với F.
