2.1.1.1. Giới thiệu
Phương trình vận chuyển bức xạ qua vật chất chỉ có thể giải được cho một số cấu hình nhất định. Tuy nhiên ngày nay quá trình tương tác của photon và electron đã được khảo sát rất chi tiết cũng như thư viện số liệu hạt nhân sẵn có, ý tưởng sử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho việc giải quyết các bài toán vận chuyển bức xạ được hình thành. Phương pháp Monte Carlo là phương pháp tính số cho bài toán mô phỏng sự tương tác của những vật thể này với những vật thể khác hay là với môi trường dựa trên các mối quan hệ vật thể – vật thể và vật thể – môi trường đơn giản. Phương pháp Monte Carlo cố gắng mô hình hoá tự nhiên thông qua sự mô phỏng trực tiếp các lý thuyết động lực học cần thiết dựa theo yêu cầu của hệ cần khảo sát. Lời giải được xác định bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên của các quan hệ hay là các tương tác vi mô cho đến khi hội tụ về kết quả. Do vậy cách thực hiện lời giải bao gồm các hành động hay phép tính được lặp đi lặp lại.
Phương pháp này được sử dụng để mô tả lý thuyết các quá trình thống kê và đặc biệt hữu ích trong các bài toán phức tạp không thể mô tả bằng các phương pháp tất định. Việc mô phỏng thường được thực hiện trên máy tính bởi vì số phép thử phải rất lớn để có thể mô tả chính xác hiện tượng.
Trong quá trình mô phỏng một photon hoặc electron được xem như “hạt vật lý”. Mỗi hạt sẽ được theo dõi từ vị trí ban đầu của nó trong nguồn phóng xạ, qua các lớp vật liệu trung gian và vào thể tích nhạy của detector. Photon sẽ tương tác thông qua các hiệu ứng hấp thụ quang điện, tán xạ Compton và hiệu ứng tạo cặp. Từ các tương tác này, electron, positron và các photon thứ cấp (bức xạ hãm, bức xạ huỳnh quang, lượng tử hủy cặp) được tạo ra. Các số giữa 0 và 1 được lựa chọn một cách ngẫu nhiên để xác định loại tương tác và vị trí xảy ra tương tác dựa trên các định luật vật lý và xác suất của các quá trình liên quan. Tại mỗi điểm tương tác, kết quả tương tác sẽ được xác định bằng xác suất của mỗi loại
tương tác có thể và góc tán xạ. Quá trình này được lặp lại cho đến khi hạt nguồn và tất cả các hạt thứ cấp đã để lại toàn bộ năng lượng của nó hoặc thoát ra khỏi thể tích detector. Nếu tất cả năng lượng này được để lại trong detector, một số đếm sẽ được đưa vào phổ gamma tại năng lượng xấp xỉ của nó. Quá trình này được lặp lại cho đến số ngẫu nhiên được giới hạn trước. Bằng cách theo dõi tất cả các sự kiện xảy ra, ta có thể thu được một phổ phân bố của bức xạ tới.
2.1.1.2. Đặc trưng của phương pháp Monte Carlo
Tính đúng đắn phương pháp Monte Carlo phụ thuộc vào một số yếu tố như luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm và số ngẫu nhiên [20].
a. Định lý giới hạn trung tâm
Định lý giới hạn trung tâm mô tả cách ước lượng Monte Carlo tiến đến giá trị thực. Theo lý thuyết, ước lượng Monte Carlo luôn phân bố chuẩn quanh giá trị thực của bài toán khi N lớn. Độ lệch chuẩn của việc tính toán Monte Carlo khi đó được cho bởi căn bậc hai của phương sai chia cho N . Kết quả này là quan trọng cho việc đánh giá độ chính xác của tiến trình Monte Carlo.
b. Luật số lớn
Luật số lớn phát biểu rằng ước lượng phương pháp Monte Carlo của tích phân khi sử dụng n số ngẫu nhiên sẽ hội tụ về giá trị thực của tích phân khi n đủ lớn.
b n i 1 a 1 1 f (n ) f (x)dx n → b a − ∑ ∫ (2.1)
Với f(ni) là hàm được lấy tích phân và ni là tập hợp n số ngẫu nhiên có phân bố đều trong giới hạn x = a và x = b. Vế trái của phương trình (2.1) là ước lượng Monte Carlo của tích phân còn vế phải là tích phân thực của hàm giữa a và b. Định lý này đặc biệt quan trọng do nó xác định các kết quả tính toán Monte Carlo như những ước lượng phù hợp. Do đó hai tính toán Monte Carlo lý tưởng cần tạo ra cùng một ước lượng (trong sai số thống kê).
c. Số ngẫu nhiên
Để tạo được một dãy số ngẫu nhiên, nhiều phương pháp khác nhau đã được áp dụng. Ở đây, xin trình bày một phương pháp được dùng phổ biến nhất đó là phương pháp đồng dư tuyến tính. Phương pháp này đã được sử dụng trong nhiều ngôn ngữ lập trình, chẳng hạn như C, Fortran. Đồng thời nó cũng là phương pháp chính được sử dụng trong chương trình MCNP5 và DETEFF.
Dùng phương pháp Monte Carlo điều quan trọng nhất là phải tạo ra các số ngẫu nhiên phân bố đều trên khoảng (0, 1) và có mật độ xác suất bằng 1. Một thuật toán tạo số ngẫu nhiên được gọi là phương pháp đồng dư tuyến tính như sau:
0
x <M là số nguyên lẻ số gieo ban đầu. n n 1
x =ax − +c n x / Mn
ξ =
Trong đó: a và c là các số nguyên, M thường là một số nguyên có giá trị lớn, x0 là số gieo ban đầu có thể được đặt bởi người dùng trong quá trình tính toán, xnlà số ngẫu nhiên ở lần gieo thứ n.
Thuật toán tạo số ngẫu nhiên này có ưu điểm là đơn giản, dễ sử dụng, tính toán nhanh và dãy số ngẫu nhiên do nó tạo ra là khá tốt.
Chu kì của phương pháp đồng dư tuyến tính (chiều dài của dãy số cho đến khi số đầu tiên bị lặp lại) M≤ điều này có nghĩa là trong trường hợp tốt nhất thì xnsẽ lấy tất cả các giá trị có trong đoạn.