Trong mặt phẳng cho vectơ v
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho '
MM v
được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v
.
Như vậy, vectơ được sử dụng làm công cụ để định nghĩa phép tịnh tiến. Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là: Liệu có thể định nghĩa phép tịnh tiến mà không sử dụng đến khái niệm vectơ
không?
Về mặt lịch sử, khái niệm vectơ và khái niệm phép biến hình có nguồn gốc hình thành và phát triển độc lập với nhau. Do đó, phép biến hình hoàn toàn có thểđược trình bày
độc lập mà không cần sử dụng khái niệm vectơ.
Phép tịnh tiến được trình bày qua tích của hai phép đối xứng trục, có trục song song:
Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 thuộc mặt phẳng. Giả sử f1 là phép đối xứng qua trục d1, f2 là phép đối xứng qua trục d2. Tích của f1 và f2 (theo thứ tựđó) là một phép biến hình h của mặt phẳng, gọi là một phép tịnh tiến.
Tính chất phép tịnh tiến:
Tính chất 1: Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
nâng cao chứng minh tính chất 1 bằng phương pháp vectơ và thừa nhận tính chất 2, Hình học 10 thừa nhận tất cả mà không chứng minh.
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ . u
Biết tọa độ của u = (a; b). Giả sửđiểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có: ''
x x a
y y b
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ u( ; )a b .
Rõ ràng việc định nghĩa phép tịnh tiến bằng tích của hai phép biến hình sẽ gây nhiều khó khăn cho học sinh khi tiếp thu tri thức. Như vậy, khái niệm vectơ giúp trình bày khái niệm phép tịnh tiến đơn giản, rõ ràng.
Nghiên cứu ảnh hưởng của khái niệm vectơ lên việc nghiên cứu phép biến hình giữa hai cấp
độ 1, 2. Chúng tôi nhận thấy, khái niệm vectơ, kết hợp thêm biểu thức tọa độ sẽ giúp học sinh dễ dàng nắm bắt được quan điểm ánh xạ từ tập hợp điểm vào tập hợp điểm trong phép biến hình.
Ví dụ: Cho đường thẳng (d1): x + y – 1 = 0, vectơ u ( ; )3 1 . Tìm phương trình đường thẳng d2 là ảnh của đường thẳng d1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u( ; )3 1 .
Giải
Do d2 là ảnh của d1 qua phép tịnh tiến nên d2 // d1. => d2 có vectơ chỉ pháp tuyến n 2 n1( ; )1 1
Lấy điểm A(0; 1) d1. Gọi B là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ u. Dựa vào biểu thức tọa độ, ta xác định được B(3; 0).
Do tính chất phép tịnh tiến, ta có B(3; 0) d2. Phương trình đường thẳng (d2): x + y – 3 = 0.
Trong quá trình giải quyết bài toán, giáo viên có thể cho học sinh thấy rõ tính chất tập hợp (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
điểm của hình bằng cách thay đổi các giá trị x rồi tính giá trị y tương ứng => tọa độ điểm A thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn tính chất điểm A thuộc đường thẳng (d1). Học sinh sẽ được củng cố cách hiểu đường thẳng (hình) là tập hợp của vô số điểm. Từ định nghĩa “vectơ là một đoạn thẳng có hướng”, mỗi vectơ được xác định bởi một điểm đầu và một điểm cuối, học sinh dễ dàng nhận ra sự tương ứng 1 – 1 giữa hai đường thẳng d1 và d2.
Như vậy, khái niệm vectơ cùng với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giúp làm giảm khó khăn trong việc chuyển đổi quan niệm “hình” sang quan niệm “điểm”, đồng thời góp phần xây dựng hình ảnh về sự tương ứng 1 – 1 trong khái niệm phép biến hình. Nếu giáo viên có thể tích hợp ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học, ví dụ như sử dụng phần mềm Cabri có thể xây dựng hình ảnh đơn giản cho bài toán trên nhằm làm rõ tính chất phép biến hình ở cấp độ 2.