V. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
3.2.1 Hình học nửa đại số
Chúng tôi nhắc lại ở đây một vài khái niệm và kết quả cơ sở của Hình học nửa đại số (xem chi tiết trong [1], [2], [4]).
Định nghĩa 3.2.1. Một tập con nửa đại số của Rn là một tập gồm các điểm
(x1, . . . , xn) trong Rn thỏa mãn một tổ hợp của các ph-ơng trình và các bất ph-ơng trình đa thức với các hệ số thực. Nói cách khác, các tập con nửa đại số của Rn là một lớp nhỏ nhất SAn các tập con của Rn sao cho
(i) Nếu P ∈ R[x1, . . . , xn], thì {x ∈ Rn : P(x) = 0} ∈ SAn và {x ∈ Rn :
P(x) >0} ∈ SAn.
(ii) Nếu A ∈ SAn và B ∈ SAn, thì A∪B, A∩B và Rn\A ∈ SAn.
Mệnh đề 3.2.2. Mỗi tập con nửa đại số của Rn là hợp của hữu hạn các tập con nửa đại số có dạng
74
ở đây l ∈ N và P, Q1, . . . , Ql ∈ R[x1, . . . , xn].
Ví dụ 3.2.3. Các tập con nửa đại số của R là các hợp của hữu hạn các điểm và các khoảng mở.
Định lí 3.2.4 (Tarski-Seidenberg - dạng thứ nhất [2], [4]). Cho A là một tập nửa đại số của Rn+1 và π : Rn+1 → Rn là phép chiếu lên n tọa độ đầụ Khi đó, π(A) là tập con nửa đại số của Rn.
Chú ý rằng để chỉ ra một tập con là nửa đại số bằng cách viết ở dạng phép chiếu nói chung là không thuận tiện. Chúng ta th-ờng viết các tập này ở dạng công thức, đ-ợc gọi là công thức phân bậc đầu tiên (theo ngôn ngữ các tr-ờng phân bậc với các tham số trong R). Một công thức phân bậc đầu tiên đ-ợc xác định bởi các qui tắc saụ
1. Nếu P ∈ R[x1, . . . , xn], thì P = 0 và P > 0 là các công thức phân bậc đầu tiên.
2. Nếu Φ và Ψ là các công thức phân bậc đầu tiên, thì "Φ∨Ψ", "Φ∧Ψ", "ơΦ" là các công thức phân bậc đầu tiên.
3. Nếu Φ là một công thức phân bậc đầu tiên và x là một biến trong R, thì "∃xΦ" và "∀xΦ" là các công thức phân bậc đầu tiên.
Các công thức xác định chỉ bởi các qui tắc 1 và 2 đ-ợc gọi là các công thức xác định tự do. Định nghĩa về tập con nửa đại số chỉ ra rằng một tập
con A ⊂ Rn là nửa đại số nếu và chỉ nếu tồn tại một công thức phân bậc tự do Φ(x1, . . . , xn) sao cho
(x1, . . . , xn) ∈ A⇔ Φ(x1, . . . , xn).
Định lí Tarski-Seidenberg có một dạng th-ờng dùng ở dạng công thức là:
Định lí 3.2.5 (Tarski-Seidenberg - dạng thứ hai [2], [4]).NếuΦ(x1, . . . , xn)
là một công thức phân bậc đầu tiên, thì tập các điểm (x1, . . . , xn) ∈ Rn thỏa mãn Φ(x1, . . . , xn) là nửa đại số.
Định lí trên có thể diễn đạt nh- sau: Mỗi công thức phân bậc đầu tiên là t-ơng đ-ơng với công thức xác định tự dọ
Định nghĩa 3.2.6. Cho A ⊂Rm và B ⊂ Rn là các tập nửa đại số. Một ánh xạ f : A →B đ-ợc gọi là nửa đại số nếu đồ thị của nó
Γ(f) = {(x, y) ∈ AìB : y =f(x)}
là một con tập nửa đại số của Rm ìRn.
Mệnh đề 3.2.7 ([4]). Cho A ⊂ Rn, A 6= ∅, là một tập nửa đại số. Khi đó hàm
Rn →R, x 7→d(x, A) = inf{kx−yk : y ∈ A}
là nửa đại số và liên tục.
Mệnh đề 3.2.8. Cho f : Rn → R là một đa thức, và W ⊂ Rn là một tập con nửa đại số. Đặt
ϕ(t) = sup x∈|f|−1(t) d(x, W), nếu |f|−1(t) 6=∅, 0, nếu |f|−1(t) =∅.
Giả sử rằng ϕ(t) <+∞ với mọi t ∈ (a, b). Khi đó (i) Hàm hạn chế ϕ|(a,b) là nửa đại số.
(ii) Tồn tại tập con hữu hạn Ω ⊂R sao cho hàm hạn chế ϕ|(a,b) liên tục trên
(a, b)\Ω.
Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát, giả sử f không hằng.
Tr-ớc hết, giả sử rằng f−1(t) 6=∅ với mọi t∈ (a, b). Khi đó, đồ thị của
ϕ|(a,b) là
Γ(ϕ|(a,b)) ={(t, s) ∈ R2 : t ∈ (a, b), s ≥ 0 và ∀x ∈ |f|−1(t), d(x, W) ≤ s
và ∀ ∈ R, >0,∃x ∈ |f|−1(t), d(x, W) > s−}
={(t, s) : t∈ (a, b), s ≥ 0 và ∀x ∈ |f|−1(t),∃u ∈ R, u ≤ s, u = d(x, W)
và ∀∈ R, > 0,∃x ∈ |f|−1(t),∃u ∈ R, u > s−, u = d(x, W)}.
Bởi Mệnh đề 3.2.7, tập {(x, u) ∈ Rn+1 : u = d(x, W)} là nửa đại số. Điều này kéo theo rằng Γ(ϕ|(a,b)) là tập nửa đại số.
Bây giờ, giả sử rằng tồn tại t0 ∈ (a, b) sao cho |f|−1(t0) = ∅. Vì f là đa thức không hằng, nên f không bị chặn; và do vậy tập {|f| > t0} 6= ∅.
76
Ta chỉ ra rằng {|f| < t0} = ∅. Bằng phản chứng, giả sử {|f| < t0} 6= ∅. Lấy x ∈ {|f| < t0}, y ∈ {|f| > t0}, l là đoạn nối x và y. Vì f|l là liên tục, |f|(x) < 0 và |f|(y) > 0, tồn tại z ∈ l sao cho |f(z)| = t0. Điều này mâu thuẫn với việc |f|−1(t0) = ∅. Đặt t∗ := inf
{|f|≥t0}f. Khi đó, rõ ràng rằng
{|f| < t∗} = ∅và |f|−1(t) 6=∅ với mỗi t > t∗. Nếu t∗ ≥ b, đồ thị của ϕ|(a,b)
là
Γ(ϕ|(a,b)) = (a, b)ì {0},
và do đó là một tập nửa đại số trong R2. Nếu t∗ < b, đồ thị của ϕ|(a,b) là hợp hữu hạn
[(a, t∗)ì {0}]∪ {(t∗, ϕ(t∗))} ∪Γ(ϕ|(t∗,b)),
và do đó cũng là một tập nửa đại số. Nh- vậy, ϕ|(a,b) là một hàm nửa đại số.
(ii) Vì đồ thị của ϕ|(a,b) là tập nửa đại số, nên đồ thị này có hữu hạn thành phần liên thông. Điều này cho ta chứng minh của (ii).
Định nghĩa 3.2.9. Cho A ⊂Rn là một tập con nửa đại số.
(i) Một ánh xạ nửa đại số liên tục p : A → Rk đ-ợc gọi là tầm th-ờng nửa đại số trên một tập con nửa đại số C ⊂ Rk nếu có tập nửa đại số
F và đồng phôi nửa đại số h : p−1(C) → C ìF sao cho hợp thành của h với phép chiếu C ìF → C là hạn chế của p trên p−1(C). Đồng phôi h đ-ợc gọi là một tầm th-ờng nửa đại số của p trên C.
(ii) Tầm th-ờng h đ-ợc gọi là t-ơng thích với một tập con nửa đại số
B ⊂ Anếu có tập con nửa đại sốG ⊂ F sao choh(B∩p−1(C)) =CìG.
Định lí 3.2.10 (Tầm th-ờng nửa đại số của Hardt [1], [2], [4]). Cho
A ⊂ Rn là một tập nửa đại số và p : A → Rk là một ánh xạ nửa đại số liên tục. Khi đó, tồn tại phân hoạch nửa đại số hữu hạn của Rk thành
C1, . . . , Cm sao cho p là tầm th-ờng nửa đại số trên mỗi Ci. Hơn nữa, nếu
B1, . . . , Bq là các tập con nửa đại số của A, ánh xạ tầm th-ờng nửa đại số
Định lí 3.2.11 ([42]). Cho A ⊂ Rn là một tập nửa đại số, dimA ≤ n−1. Khi đó với mỗi N > 0, quả cầu trong N-lân cận {x ∈ Rn : d(x, A) < N}
của A có bán kính lớn nhất là cN, ở đây c chỉ phụ thuộc vào l-ợc đồ của A.