V. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
3.1.1Đ-ờng cong tiếp xúc
Khái niệm đ-ờng cong tiếp xúc đã đ-ợc đề cập đến trong mục 2.2.1 đối với các hàm hữu tỉ trên mặt đại số không kì dị trongRn. Để thuận tiện cho
ng-ời đọc, chúng ta nhắc lại khái niệm này cho lớp các hàm đa thức thực nhiều biến. Các chi tiết hơn, ng-ời đọc có thể tham khảo trong [38] (hoặc trong [35]). Cho f : Rn → R là một hàm đa thức. Đặt X := {(x, a) ∈ Rn ìRn : rank ∂f ∂x1 ã ã ã ∂f ∂xn x1−a1 ã ã ã xn −an ≤1}.
Kí hiệu Σ(f) là tập các giá trị tới hạn của f. Đặt
Γ(a, f) := {x ∈ Rn : x 6∈ Σ(f) và (x, a) ∈ X}.
Bổ đề 3.1.1 ([36]). Với các kí hiệu trên.
(i) Γ(a, f) là một tập nửa đại số không rỗng và không bị chặn;
(ii) Tồn tại một tập con đại số Ω ( Rn sao cho Γ(a, f) là đa tạp con một chiều của Rn đối với mỗi a ∈ Rn\Ω.
Định nghĩa 3.1.2. Nếu dim Γ(a, f) = 1, ta gọi Γ(a, f) là đ-ờng cong tiếp xúc của f t-ơng ứng với a ∈ Rn.
Cho Γ(a, f) là một đ-ờng cong tiếp xúc của f. Giả sử Γ1, . . . ,Γs là các nửa nhánh tại vô hạn của Γ(a, f). Khi đó, tồn tại σ > 0 và các hàm Nash
ρi : (0, σ) → Rn sao cho Γi là mầm của đ-ờng cong x = ρi(τ) khi τ → 0. Ta giả sử (lấy σ > 0 đủ nhỏ) hàm kρik : (0, σ) → R, τ 7→ kρi(τ)k, là giảm thực sự và hàm f ◦ρi : (0, σ) →R, τ 7→ f[ρ(τ)], là đơn điệu thực sự hoặc hằng. Đặt ti := lim
τ→0f[ρi(τ)] ∈ R ∪ {−∞,+∞}.
Định nghĩa 3.1.3. Mỗi giá trị ti, i = 1, . . . , s, đ-ợc gọi là một giá trị tiếp xúc của f t-ơng ứng với a ∈ Rn.
Định nghĩa 3.1.4 ([17]). Ta nói rằng đa thức f thỏa mãn điều kiện Mal- grange tại giá trị t0 nếu tồn tại r 1, δ > 0, c > 0 sao cho với mỗi
x ∈ f−1(Dδ)\Bnr, ta có
kxkkf0(x)k > c,
62
Mệnh đề 3.1.5 ([37]). Giả sử Γi là một nửa nhánh tại vô hạn của Γ(a, f). Khi đó
lim
x∈Γi,kxk→∞
kxkkf0(x)k = 0.
Trong tr-ờng hợp riêng, nếu ti là một giá trị tiếp xúc của f và ti 6= ±∞, thì f không thỏa mãn điều kiện Malgrange tại giá trị ti.